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JAMES GRIME: Heute werden wir über eine Frage sprechen,
die uns bei Numberphile schon oft gefragt wurde
und die Frage ist, - Brady, was ist die Frage?
BRADY HARAN: Die Frage lautet: Warum ist 0 Fakultät gleich 1?
JAMES GRIME: Richtig.
Warum ist 0 Fakultät gleich 1?
Lasst uns mit einer kurzen Wiederholung beginnen,
was Fakultät bedeutet.
Für eine Ganze Zahl, nennen wir sie n-
n Fakultät wird wie folgt geschrieben: n mit einem
Ausrufezeichen.
Es ist gleichbedeutend mit der
multiplikation mit allen Ganzen Zahlen
kleiner gleich n.
Es ist n mal n minus 1, mal n minus 2,
mal...
und so weiter, bis man schließlich 3
mal 2 mal 1 erreicht hat.
Kurzes Beispiel.
5 Fakultät.
5 mal 4mal 3 mal 2 mal 1.
Das berechnet ergibt:
120.
OK.
Die Frage, die uns gestellt wurde ist, was ist 0 Fakultät?
Die Lösung zu dieser Frage-- eine Lösung zu dieser
Frage ist, das Muster zu vervollständigen.
Lass uns das Muster vervollständigen.
Das Muster in allen Einzelheiten: 4 Fakultät ist gleich 5
Fakultät geteilt durch 5.
Wie du siehst, wenn ich 5 Fakultät nehme, und durch 5
dividiere, bedeutet das, dass ich die 5 wegfallen lassn kann
und auf 4 Fakultät komme.
Also, 5 Fakultät geteilt durch 5, oder 120 geteilt durch
5, das ist 24.
Das ist 4 Fakultät.
3 Fakultät wird also 4 Fakultät durch 4 sein.
Das ist 24 geteilt durch 4.
Das ist 6.
Das ist die Lösung zu 3 Fakultät.
2 Fakultät, 3 Fakultät, 6, geteilt durch 3,
das haben wir gerade ausgerechnet, ist 2.
1 Fakultät.
Das ganze Nochmal.
Es ist 2 Fakultät geteilt durch 2.
2 Fakultät, 2, geteilt durch 2.
Wir haben 2 geteilt durch 2.
Das entspricht 1.
Jetzt kommen wir zu dem Punkt, an dem es spannend wird.
Hast du schon eine Vermutung?
Also, 0 Fakultät.
Wir werden das Muster vervollständigen.
0 Fakultät ist 1 Fakultät geteilt durch 1.
1 Fakultät ist 1.
Es ist 1 geteilt durch 1, und das ergibt 1.
Also ist 0 Fakultät gleich 1.
Du hast das Muster vervollständigt.
BRADY HARAN: Wer sagt, dass das Muster vollständig sein muss?
Woher kommt diese Regel?
JAMES GRIME: Ich denke nicht, dass es unbedingt ein Muster
sein muss, das vervollständigt wird.
Dennoch ist es ein Muster, dass sich wiederholt.
Lass mich eine andere Möglichkeit versuchen, es zu erklären.
BRADY HARAN: Lass mich zuerst mit dem Muster fortfahren.
Bedeutet das, minus 1 Fakultät wäre das nächste Element
der Folge?
JAMES GRIME: Lass uns schauen, was passiert.
Ich bin mir nicht sicher was passieren wird.
Lass es uns versuchen.
Minus 1 Fakultät.
Was soll es sein?
0 Fakultät geteilt durch 0.
1 geteilt durch 0.
BRADY HARAN: Oh, geteilt durch 0.
JAMES GRIME: Du hast die Mathematik zerstört, Brady.
Hör auf damit.
Ein anderer Weg zu klären, was 0 Fakultät sein würde.
n Fakultät ist die Anzahl der Möglichkeiten,
wie man n Objekte anordnen kann.
Lass mich schnell versuchen, dir zu zeigen, was ich meine.
Ich nehme ein paar Objekte.
Ich nehme meinen Geldbeutel raus.
Ich nehme einige Münzen raus.
Siehst du?
Wer sagt, dass Mathematiker nicht viel verdienen?
Wir haben hier sagenhafte 50p.
Lass mich einen silbernen und ein 5p Stück nehmen.
Hier sind drei Objekte, wie viele Möglichkeiten gibt es,
drei Objekte anzuordnen?
Insgesamt sind es 6 Möglichkeiten.
Es ist 3 Fakultät.
Lass sie uns durchgehen.
Das ist eine, das sind zwei, oder wir könnten den hier dort haben--
Das sind drei, das sind vier.
Oder wir könnten--
Ich denke, es war derhier, den wir nicht vorne hatten.
Das hier wären fünf und sechs.
Wenn wir eine wegnehmen, haben wir noch zwei Objekte.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei Objekte anzuordnen?
Das ist eine, das sind zwei.
Nimm eins weg.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein Objekt anzuordnen?
Da ist es.
Es gibt eine Möglichkeit.
Eine Möglichkeit, ein Objekt anzuordnen.
Jetzt werden wir die letzte Münze wegnehmen.
Jetzt wird es etwas philosophisch.
Wir haben Null Objekte.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, Null Objekte anzuordnen?
Es gibt eine Möglichkeit.
Hier ist es.
Möchtest du sehen, wie ich es nochmal mache?
Hier ist es.
Etwas philosophisch, aber wir sagen, dass es eine Möglichkeit
gibt, Null Objekte anzuordnen.
Und wieder, das Muster besteht.
0 Fakultät ist 1.
Nur um die Idee etwas weiter fortzusetzen, wenn wir über
Fakultäten reden, lass uns versuchen, sie graphisch darzustellen.
Nehmen wir zum Beispiel eins, zwei, drei, vier, fünf.
1 Fakultät ist 1, also nennen wir das 1.
2 Fakultät ist 2, also irgendwo hier.
3 Fakultät ist 6.
Ich bin mir nicht sicher.
Ungefähr hier.
4 Fakultät ist 24, das wird irgendwo ziemlich
weit hier oben sein.
Und 5 Fakultät wird sogar noch höher sein.
Wenn wir sie verbinden, ich hatte auch gesagt, dass 0
Fakultät 1 ist, sollte das der Graph sein.
In der Theorie, sollten wir also auch in der Lage sein, Werte
zwischen zwei Zahlen, wie zum Beispiel 1 1/2 zu berechnen.
1 1/2 Fakultät.
Was ist 1 1/2 Fakultät?
Natürlich haben Mathematiker das gemacht.
Sie habe die Idee pauschalisiert.
Und es gibt eine Idee für 1 1/2 Fakultät.
Wir nennen es Gamma.
Der griechische Buchstabe Gamma.
Wir nennen es Gamma von...
Und so schreiben wir es--
Tatsächlich ist das jetzt etwas anspruchsvoller.
Wir sagen, dass Gamma von n gleich dem Integral zwischen 0 und
Unendlich von--
lass uns irgenwas nehmen--
t hoch n minus 1, multiplizierd mit e hoch
minus n dn.
Einige werden damit nicht vertraut sein.
Einige werden damit vertraut sein.
Einige von euch sind es nicht.
Es ist eine sehr viel kompliziertere mathematische Idee, aber
es würde mit allen Fakultäten übereinstimmen.
Aber zusätzlich berechnet es auch Werte dazwischen.
Das ist dieser Graph.
Da gibt es etwas, was ich hinzufügen muss.
Es ist etwas unerwartet, aber wenn wir einen ganzzahligen Wert,
Gamma von n, nehmen, und n ist ganzzahlig, dann gibt dir die
Formel n minus 1 Fakultät, darauf musst du achten.
Es wird dich vielleicht erwischen.
Etwas mühevoll.
Was ist der Sinn, eine Funktion zu haben, die dir die Fakultäten
zwischen den Ganzen Zahlen berechnet, wenn man 1 1/2 Objekte
sowieso nicht anordnen kann.
Es ist eine Pauschalisierung, und es hat sich herausgestellt, dass sie
für einige Dinge recht nützlich ist.
Ich denke im speziellen an die Wahrscheinlichkeit.
Man kann sie in Formeln benutzen, die man in der Wahrscheinlichkeitrechnung
benötigt, wo es sich um fortlaufende Zeit, anstatt nur um das
anordnen von Objekten mit diskreter Wahrscheinlichkeit handelt.
Wir fangen jetzt an, über fortlaufende Prozesse zu denken.
Zeit ist das beste Beispiel.
Dann musst du Ideen pauschalisieren, und hierführ
benötigst du eine pauschalisierte Fakultät.
BRADY HARAN: 9, 6, und 3.
20.
44.