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Heute möchte ich versuchen eure Gehirnwindungen
etwas zu verknoten.
Und ich hoffe dies löst eine kleine Diskussion in den
Kommentaren aus, denn ich weiß, dass YouTube rationale und
informierte Debatten beherbergt.
Da freue ich mich schon drauf.
Die Frage ist: Was ergibt das?
Es ist eine recht einfache Summe.
Sie startet mit 1.
Dann subtrahiere ich 1.
Dann addiere ich wieder 1, dann subtrahiere ich 1, dann addiere ich 1,
dann subtrahiere ich 1, dann addiere ich 1, dann subtrahiere ich 1.
Und ich mache das unendlich oft.
Ihr könnt das nachvollziehen, hoffe ich.
Also was ergibt das?
Eine der Ergebnisse, die es sein könnten erhalte ich, indem ich
Klammern wie folgt setze:
hier und hier und hier und hier
Man kann sehen, dass jede Klammer... (1 - 1) plus (1 - 1),
plus (1 - 1).
Jede Klammer ergibt 0.
Also erhält man 0 plus 0 plus 0 plus 0 bis ins unendliche.
Also wird das wohl 0 ergeben, oder?
Das ist eine der Antworten, die es sein kann.
Das Problem ist, dass es ein weiteres Ergebnis gibt.
Wenn ich das nochmal mache, könnten wir die Klammern auch so setzen.
Sagen wir nun, dass
dort wieder ein Plus steht. Plus diese Klammer.
Ich habe also mit 1 angefangen, plus ( -1 + 1 ) - das ist eine 0
plus ( -1 + 1 ).
Das ist eine 0.
Und so weiter und so fort.
Alle Klammern ergeben 0.
Also ist die Summe aller Klammern 0.
Aber es steht eine 1 am Anfang.
Also ist dies gleich 1.
Ich habe zwei Antworten!
Ich bekomme eine 0 heraus, wenn ich die Klammern hier setze.
Ich erhalte eine 1, wenn ich die Klammern an anderer Stelle setze.
Es gibt sogar noch eine dritte Lösung, und die
ist sehr verrückt.
Sagen wir sie ist eine Zahl, also nennen wir sie S. Wir versuchen
herauszufinden, was gleich S ist.
Das ist das, was wir wissen wollen.
Machen wir: 1 minus S. Also 1 minus einer unendlichen Summe.
Lasst uns das machen.
Also schreiben wir es aus.
Plus 1 minus 1 plus 1 minus 1
genau.
Wenn wir die Klammern wegnehmen, bedeutet dieses Minuszeichen, dass
alle Vorzeichen umgekehrt werden. Also bekommt man 1 minus
1, plus 1, minus 1, plus 1, minus 1.
Das passiert, wenn ich die Klammern wegnehme.
Aber was ich herausbekomme ist dasselbe womit ich angefangen habe!
Das ist wieder das alternierende plus 1 und minus 1.
Also habe ich wieder S.
Also habe ich 1 minus S ist gleich S. Das ist Ok.
Das ist gut.
Das kann man lösen.
In anderen Worten, wenn ich das S auf die andere Seite bringe, habe ich
2S ist gleich 1, also folgt:
S ist gleich 1/2.
Das ist eine bizarre Antwort!
Ich habe 1/2 raus!
Addiert man unendlich oft 1 und -1
kommt man auf 1/2.
Ok, es könnte 1 sein.
es könnte 0 sein.
Aber es könnte auch 1/2 sein.
Also der Kerl, der diese Idee hatte war ein italienischer
Mathematiker namens Grandi.
Er tat das im Jahr 1703.
Er war ein Mönch.
Er war ein Mathematiker.
Er war von jener Sorte.
Und er veröffentlichte dies.
Und er sagte: Das ist seltsam!
Es ist 0.
Es ist 1.
Es ist 1/2.
Was hat es damit auf sich?
Und die mathematische Gemeinschaft hat sich das angeschaut.
Und sie sagten: Nunja, es kann nicht 1/2 sein, oder?
Ich meine man hat Einsen und Nullen!
Das ist Wahnsinn.
Das kann nicht sein.
Oh.
Moment!
Oh, das ist tatsächlich recht überzeugend.
Es könnte 1/2 sein.
Es gab also eine lange Zeit eine Debatte zu dem Thema.
Ich glaube 150 Jahre.
Eine ziemliche Debatte. Bis zum 19. Jahrhundert, als all der Kram
mit unendlichen Summen geradezu aussortiert wurden.
Viele Menschen glauben, dass 1/2 die beste Antwort ist.
Ich möchte versuchen zu zeigen, warum sie denken, dass
die beste Antwort 1/2 ist.
Und danach zeige ich euch eine weitere Sache,
um euch komplett zu verblüffen.
Nehmen wir eine schöne unendliche Summe. Es gibt nämlich schöne
unendliche Summen, und hässliche unendliche Summen. Eine der
schönen ist diese hier.
1 plus 1/2 plus 1/4 plus 1/8 plus 1/16.
Und der Lösungsweg dafür ist -
Ich zeige euch sogar den exakten Lösungsweg.
Bei der exakten Methode betrachet man die Partialsummen.
Wir werden die Summanden Term für Term addieren.
Lasst uns eine eine Reihe daraus machen
Ich beginne mit 1.
Das schreibe ich auf.
Was bekomme ich, wenn ich die ersten beiden Terme addiere?
Das ist 1 plus 1/2.
Das ist 3/2.
Oder 1,5 - wenn ihr mögt.
Lasst uns die ersten drei Zahlen addieren.
Also 1 plus 1/2 plus 1/4.
Tun wir das.
7/4
Das ist 1,75.
Wenn ich die ersten vier zusammenzähle -
15/8, das sind 1,875.
Und wenn man die nächste Gruppe addiert, bekommt man 63/32 -
1,96875.
Vielleicht seht ihr, dass sich die Werte immer mehr
dem Wert 2 annähern.
Allgemein - wenn ich irgendeinen Wert nehme - wäre dieser
2 minus 1/n.
Und wie ihr vielleicht seht: je größer n wird, desto kleiner wird dies
und verschwindet. Und es bleibt nur 2 übrig.
Und Mathematiker können sagen, dass die
ganze unendliche Summe gleich 2 ist.
Würden wir das mit Grandis Reihe machen, so würde das nicht funktionieren.
Schaut auf die Partialsummen.
Die erste ist 1.
Und man addiert die ersten beiden zusammen
und bekommt 0.
Man addiert die ersten drei zusammen und bekommt wieder 1.
Man addiert die ersten vier zusammen und landet wieder bei 0.
Und es alterniert weiterhin zwischen Einsen und Nullen.
Und es nähert sich keinem Wert an.
Dies geht also nicht mit Grandis Reihe.
Also zeige ich euch eine zweite
Methode zum Ermitteln von Summen.
Ich nehme die Partialsummen und schaue auf
die Mittelwerte.
Ich mittle einfach beim Durchlaufen der Reihe
Fast genauso.
Ich mache das erst mit dieser hier um euch das Prinzip zu zeigen.
Lasst uns die erste 1 nehmen.
Das ist 1.
Ich addiere die ersten beiden Partialsummen.
Also 1 plus 1,5, aber ich bilde den Mittelwert.
Ich teile durch 2.
Also ist es 1 plus 3/2 Und dann mitteln. So.
Der Durchschnitt ist somit 5/4.
Wenn ich die ersten drei nehme und mittle, so hätte ich
1 plus 3/2 plus 7/4 geteilt durch 3.
Und dann erhält man 17/12, und...
Also, ich hoffe ihr versteht das Prinzip dessen.
Nochmal: Die Werte nähern sich der 2 an.
Es ist einfach nur eine andere Methode um zur gleichen Lösung zu kommen.
Man erhält wieder 2.
Allgemein erhält man 2 minus irgendein Müll
Der Müll ist nicht wichtig.
Schaut.
Es ist Müll.
Aber der Müll wird kleiner
und kleiner und kleiner.
Also bekommt man wieder 2.
Es ist nur eine andere Methode um die gleiche Lösung zu erhalten.
Aber diese Methode kann auf Grandis Reihe angewandt werden.
Versuchen wir es.
Wir mitteln die Partialsummen.
Also, das sind die Partialsummen.
Wir beginnen mit 1.
Wenn man dann die ersten beiden mittelt, so erhält man 1 plus 0
geteilt durch 2; Ergibt 1/2.
Man nehme die ersten drei und teile durch 3; Ergibt 2/3.
Ich nehme die ersten vier -
1 plus 0 plus 1 plus 0
- und teile durch 4.
Das ist wieder 1/2, falls ich richtig liege.
Man nehme die ersten fünf -
Also ihr seht wahrscheinlich worauf das hinausläuft.
- durch 5 teilen.
Also 3/5.
Allgemein gesagt - Man macht so weiter.
Allgemein bekommt man 1/2 gefolgt von etwas ähnlichem wie 1/2
plus 1/2n.
Nun.
Nochmal, man erhält irgendeinen Kram,
der immer kleiner wird.
Das alles tendiert zu 1/2.
Also konzentrieren sich die Werte um 1/2.
Nun, dies ist etwas formaler als die andere Version, aber
es ist eine zweite Methode um Summen zu lösen.
Man mittelt die Partialsummen.
Aber es funktioniert mit Grandis Reihe.
Man erhält 1/2.
Also was ist hier los?
Was ist der Unterschied?
Diese zweite Methode liefert einem Summen, wenn
es welche zu finden gibt.
Ein Grenzwert liegt vor, wenn man dichter und
dichter zu einem Wert gelangt.
Grandis Reihe hat keinen Grenzwert, da man
keinem Wert immer dichter kommt.
Aber es gibt diese zweite Methode um Summen zu errechnen.
Das ist fast wie ein Grenzwert, aber es ist nicht wirklich ein Grenzwert.
Es ist kein echter Grenzwert.
Es ist ein Pseudo-Grenzwert.
Dieser hat alle Eigenschaften eines Grenzwertes.
Er verhält sich genauso.
Er ist einem Grenzwert so ähnlich, das er in
Rechnungen auftaucht, in denen man Grenzwerte erwartet.
Aber der Unterschied ist, dass man nicht immer dichter
an einen Wert gelangt.
Um euch wirklich zu verblüffen, versucht euch das vorzustellen.
Wir versuchen uns vorzustellen, das in der realen Welt zu machen.
Stellt euch eine Lampe vor.
Und wir schalten sie an und aus.
Also man schaltet sie an.
Man schaltet sie aus.
Nun, jedesmal, wenn ich - die Grandis Serie durchlaufend -
eine 1 sehe, schalte ich die Lampe ein.
Jedesmal, wenn ich eine -1 sehe, schalte ich die Lampe aus.
Also schaltet man sie ein und schaltet sie aus.
Man schaltet ein und schaltet aus.
Die Partialsummen zeigen einem dabei, ob die Lampe ein oder aus ist.
Wenn man eine 1 hat, heißt das, dass man gerade eingeschaltet hat.
Wenn man eine 0 hat, heißt das, dass man gerade ausgeschaltet hat.
Man startet ein Experiment.
Nach einer Minute schaltet man das Licht ein.
Nach einer halben Minute schaltet man das Licht wieder aus.
Nach einer Viertelminute schaltet man das Licht ein.
Nach 1/8 einer Minute schaltet man das Licht aus.
Und man schaltet das Licht ein und aus, aber wird dabei
immer schneller und schneller und schneller.
Und man macht das unendlich oft.
Aber wenn man die Zeit zusammen- zählt, 1 Minute plus 1/2
Minute plus 1/4 einer Minute plus 1/8 einer Minute -
für immer -
Ergibt das 2 Minuten.
Genau das ist die Reihe, die ich gezeigt habe.
Wenn ihr euch an das Video mit Zenons Paradoxien erinnert,
ist das nicht nur das Annähern an 2 Minuten, man kann
das sogar fertigstellen und den ganzen Prozess
in 2 Minuten beenden.
Also hat man das Licht in 2 Minuten unendlich mal
an und aus geschaltet und hat das abgeschlossen.
Ist das Licht nach 2 Minuten an oder aus?
Wenn Grandis Reihe 0 ist, heißt das, dass das Licht aus ist.
Wenn Grandis Reihe 1 ist, heißt das, dass das Licht an ist.
Wenn Grandis Reihe 1/2 ist, was heißt das dann?
Ist es 1/2 an und 1/2 aus?
Ist es an und aus zur gleichen Zeit?
Was denkt ihr?
Sie hat einen Vorsprung bekommen.
Sie hat einen Vorsprung von 100 Metern.
Und dann starten Sie das Rennen.
Jetzt startet Achilles und holt bis dort auf,
wo die Schildkröte war.
Aber in der gleichen Zeit ist die Schildkröte weitergelaufen.