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X
Lasst uns eine etwas schwierigere Aufgabe als im letzten Video angehen.
Ich habe hier: x minus 3 durch x plus 4 ist größer oder gleich 2.
Also dieser "größer oder gleich" ist der Grund, warum es schwieriger ist.
Und die andere Sache, die es schwere macht: statt einfache 0, steht hier 2.
Ich werde mit dieser Aufgabe auf gleiche Art und Weise umgehen.
Ich werde euch zwei Methoden zeigen.
Und Ich werde die gleichen zwei Wege, wie letztes Mal gehen.
Aber wir ändern jetzt die Reihenfolge.
Als erste werde ich beide Seiten dieser Ungleichung mit x plus 4 multiplizieren.
Wir sollen sehr vorsichtig sein, weil wir hier eine Ungleichung haben.
Wenn x plus 4 größer als 0 ist, dann wird dasselbe Zeichen bleiben.
Wenn es kleiner als 0 ist, ändert sich das Zeichen.
Also lasst uns diese beiden Situationen anschauen.
Die erste Situation - lasst mich es hier tun - x plus 4 ist größer als 0.
Und denkt daran, dass es nie gleich 0 sein kann, weil dann diese Aussage undefiniert wäre.
Also lasst uns x plus 4 größer als 0 prüfen.
Wenn wir 4 von beiden Seiten dieser Ungleichung subtrahieren,
dann können wir sagen ... Das sind die gleichen Aussagen...
Das ist das Gleiche, wie x größer als minus 4.
Also, wenn wir annehmen, dass x größer als minus 4 ist, dann ist x plus 4 größer als 0.
Dann multiplizieren wir beide Seiten mit x plus 4. Lasst uns das tun.
x minus 3 durch x plus 4.
Hier ist unsere 2.
Wir werden beide Seiten mit x plus 4 multiplizieren.
Wir nehmen an, dass x größer als minus 4 ist, oder dass x plus 4 größer als 0 ist.
Wir multiplizieren beide Seiten mit einer positiven Zahl.
Das Zeichen bleibt also das gleiche wie in der primären Aufgabe.
Und wir machen das aus dem einfachen Grund, um dies und dies wegzukürzen.
Wir haben dann 2 mal x plus 4.
Mal sehen, was wir erhalten.
x minus 3 ist größer oder gleich 2 mal x plus 2 mal 4. Das ist gleich 8.
Was können wir jetzt tun?
Wir können x von beiden Seiten subtrahieren.
Wir erhalten: minus 3 ist größer oder gleich x plus 8.
Ich habe gerade x von 2x abgezogen.
Und dann können wir 8 von beiden Seiten subtrahieren.
Wir erhalten: minus 3 minus 8 - ist gleich minus 11 - ist größer oder gleich x.
Und wenn wir hier 8 abziehen, verschwindet dieser Bursche.
Also, wenn wir annehmen, dass x größer als minus 4 ist, dann ist x kleiner oder gleich minus 11.
Nun, ich gebe zu, dass das ein wenig komisch klingt.
Damit diese Aussage wahr wird, muss x sowohl größer als minus 4 als auch kleiner minus 11 sein.
Etwas, was größer als minus 4 ist, ist bestimmt größer als minus 11.
Es gibt also keine x, die dieser Ungleichung genügen.
Also, wenn wir annehmen, dass x plus 4 größer als 0 ist, haben wir am Ende keine Lösung.
Wir können eigentlich diesen Teil ignorieren.
Es gibt keine Situation, in der x plus 4 größer als 0 ist.
Und wir suchen eine wirkliche Lösung für dieser Ungleichung.
Schauen wir an, was passiert, wenn x plus 4 kleiner als 0 ist.
Ich mache es hier.
Also was passiert, wenn x plus 4 kleiner als 0 ist?
Und noch einmal: das ist eine Ungleichung.
Wenn wir 4 von beiden Seiten dieser Ungleichung subtrahieren,
können wir sagen, dass x kleiner als minus 4 ist.
Diese Aussagen sind gleich.
Wir nehmen an, dass x kleiner als minus 4 ist.
Wir multiplizieren beide Seiten dieser Ungleichung mit x plus 4.
Also x plus 4 multipliziert mit x minus 3 durch x plus 4.
Hier haben wir 2 mal x plus 4.
Wir sehen einen anderen Fall an, wenn x kleiner als minus 4 ist.
Das macht diese Aussage negativ.
Also multiplizieren wir beide Seiten der Ungleichung mit einer negativen Zahl.
Wir ändern das Zeichen wie hier.
Mal sehen, was wir erhalten.
Das und das werden weggekürzt.
Wir erhalten: x minus 3 ist kleiner oder gleich 2x plus 2 mal 4. Das ist 8.
Wir machen die gleiche Algebra.
Lasst uns x von beiden Seiten subtrahieren.
Wir erhalten: minus 3 ist kleiner oder gleich x plus 8.
Wenn wir 8 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir: minus 11 ist kleiner oder gleich x.
Wenn wir annehmen, dass das negativ ist, erhalten wir: x ist kleiner als minus 4.
Wenn x kleiner als minus 4 ist, um diese Ungleichung zu behalten, soll x auch größer als minus 11 sein.
Und das ist tatsächlich möglich.
Ihr habt x, und x soll - wir können das umschreiben - größer oder gleich minus 11 sein.
Ich habe die Seiten umgestellt.
Und x soll kleiner als minus 4 sein.
Und es gibt x-Werte, die diesen beiden Bedingungen genügen.
Kein x-Wert genügt diesen beiden Bedingungen.
Aber es gibt Dinge, die diesen beiden Teilen genügen.
Zum Beispiel, minus 5.
Lasst uns das auf dem Zahlenstrahl zeichnen.
Wir werden die Lösung für diese Aufgabe zeichnen.
Wenn ich einen Zahlenstrahl zeichne...
Ich möchte die Farben wechseln.
Wir haben also minus 11.
Wir können den Wert haben, der größer oder gleich minus 11 ist.
Das ist also minus 11. Und dann haben wir hier minus 4.
0 ist vielleicht hier.
Und denkt daran, dass x nicht gleich minus 4 sein kann, weil dies undefiniert wird.
Wir brauchen den Wert, der kleiner als minus 4 ist.
Deshalb schließen wir minus 4 nicht ein.
Der x-Wert soll kleiner als minus 4, aber größer oder gleich minus 11 sein.
Wir schließen aber minus 11 ein, weil es größer oder gleich sein soll.
Etwas in diesem gefärbten Intervall, wird der Ungleichung genügen.
Jetzt machen wir es anders.
Für diese Ungleichung müssen der Zähler und der Nenner entweder beide positiv oder beide negativ sein.
Mal sehen, ob wir die gleiche Aufgabe auf andere Weise lösen.
Also lasst mich es hier unten umschreiben, vielleicht in einer neuen Farbe.
Also die gleiche Aufgabe. x minus 3 durch x plus 4 ist größer oder gleich 2.
Nun, um das zu machen, lasst uns an das erinnern,
was ich im ersten Video gemacht habe. Ich sagte, dass a durch b größer als 0 ist.
Sie sind entweder beide positiv oder beide negativ.
Aber das funktioniert nur, wenn wir 0 hier haben.
Aber wir haben keine 0 hier, sondern 2.
Also können wir es nicht sofort rational machen.
Aber vielleicht können wir das, wenn wir 2 von beiden Seiten subtrahieren.
Lasst uns das machen.
Also wir haben: x minus 3 durch x plus 4 minus 2 ist größer oder gleich 0.
Subtrahiert einfach 2 von beiden Seiten.
Ich kann addieren oder subtrahieren, ohne dass ich die Ungleichung verändere.
Nur wenn ihr mit einer negativen Zahl multipliziert, verändert ihr die Ungleichung.
Und jetzt, was ist das? Wisst ihr, das sieht nicht wie eine rationale Aussage aus.
Aber ich kann das umschreiben - minus 2, richtig?
Minus 2 ist das gleiche wie minus 2 mal x plus 4 durch x plus 4.
Das ist minus 2 mal 1. Das ist das Gleiche.
Und das ist das Gleiche wie minus 2x plus - ich soll aufpassen.
Das ist das Gleiche wie minus 2x minus 8 durch x plus 4.
Das hier ist genau dasselbe Ding wie minus 2.
Ich habe einfach x plus 4 mit x plus 4 multipliziert.
Lasst uns das so schreiben, weil wir dann sie addieren können.
Also, wenn wir auf diese Weise schreiben, haben wir x minus 3 durch x plus 4.
Ich habe es so geschrieben, um einen gemeinsamen Nenner zu haben.
Und dann habe ich: plus minus 2x minus 8 durch x plus 4 ist größer als 0.
Ich habe den gemeinsamen Nenner.
Das war der Grund, wieso wir das machten.
Also ich habe den gemeinsamen Nenner x plus 4. Und wenn ihr diese beiden Dinge addiert,
erhaltet ihr minus 2x plus x.
Das ist minus x.
Hier haben wir minus 3 und minus 8. Das ist minus 11.
Und das alles ist größer als 0.
Jetzt ist unsere Aufgabe so wie diese.
Es gibt also zwei Situationen…Oh, ich soll wirklich aufpassen!
Das war größer oder gleich. Das auch. Man sollte dieses Zeichen nicht verlieren.
Das war der springende Punkt bei unserer Aufgabe.
Jetzt bin ich bereit das zu lösen.
Eher wir anfangen, lasst uns eine Sache klären.
x kann nie gleich minus 4 sein.
Denn wenn x gleich minus 4 ist, wird diese Aussage undefiniert sein.
Also lasst uns das zuerst schreiben.
Wisst ihr, wir hätten das von Anfang an schreiben können. x kann niemals gleich minus 4 sein.
Das macht diese Aussage undefiniert.
Jetzt haben wir das. Und wir sahen in dem ersten Video und wir sehen das jetzt,
dass es zwei Situationen gibt.
Erste: Die beiden sind positiv.
Wenn beide positiv sind, dann ist minus x minus 11 größer oder gleich 0.
Das kann gleich 0 sein.
Eigentlich, wenn das gleich 0 ist, dann ist diese Aussage wahr.
Also das ist größer oder gleich 0, und das hier ist größer als 0.
Es kann nicht gleich 0 sein.
Und x plus 4 ist größer als 0.
Das ist die Situation, wenn die beide positiv sind.
Oder beide sind kleiner als 0.
Oder minus x minus 11 ist kleiner oder gleich 0.
Und… Ich schreibe das so auf:
x plus 4 ist kleiner als 0.
Denkt daran, dass es niemals gleich 0 sein kann.
Entweder sie sind beide positiv oder beide negativ.
Der Zähler kann gleich 0 sein, weil diese Sache gleich 0 sein kann.
Entweder sie sind beide positiv, dann wird die Lösung positiv sein,
Oder beide sind negativ, dann wird die Lösung auch positiv sein.
Lasst uns diesen beiden Situationen ansehen und nach Lösungen suchen, die Sinn machen.
Wenn wir x auf beiden Seiten addieren, erhalten wir: minus 11 ist größer oder gleich x.
Oder wir können es anders sagen: x ist kleiner oder gleich minus 11.
Ich habe diese zwei Seiten umgestellt.
Und dann hier, wenn wir minus 4 addieren, um 4 loszuwerden, erhalten wir x größer als minus 4.
Aber das hat doch keinen Sinn.
Wir haben ein UND hier!
Das heißt, dass die beiden sollen wahr sein.
Aber es gibt keine x-Werte, die größer als minus 4 und kleiner als minus 11 sind.
Hier gibt es keinen zulässigen Wertebereich.
Also diese beiden - der Zähler und der Nenner - können nie beide gleichzeitig positiv sein.
Weil wenn sie beide positiv sind, erhalten wir eine Lösung, die undefiniert ist.
Lasst uns andere Situation anschauen, wenn sie beide negativ sind.
Wenn dieser Zähler und dieser Nenner beide negativ sind.
Lasst mich das klarstellen.
Ihr könnt nicht sagen, dass diese beiden Aussagen positiv nicht sein können.
Diese beiden Dinge können nie positiv sein.
Merkt ihr das, weil wir Null erhielten, um dieselbe Logik wie am Anfang einzusetzen.
Die Tatsache ist, dass wir sinnlose Lösungen erhielten, wenn wir
x-Werte rausfinden versuchten, die diese beide Aussage positiv machen.
Das heißt, dass dieser Zähler und dieser Nenner nie beide positiv sein können.
Damit beide negativ sein können oder der Zähler auch gleich 0 sein kann...
Wenn wir x auf beiden Seiten addieren, erhalten wir: minus 11 ist kleiner oder gleich x.
Oder wir können sagen, dass x größer oder gleich minus 11 ist.
Wir stellen einfach die Seiten um.
Wenn wir 4 von beiden Seiten subtrahieren, haben wir: x ist kleiner als minus 4.
Und …- und das was.
Also x soll größer oder gleich minus 11 und kleiner als minus 4 sein.
Das ist genau die gleiche Antwort, wie in der letzten Aufgabe.
Ich kann der Zahlenstrahl wieder zeichnen.
Wir suchen x-Werte, die größer oder gleich minus 11 sind.
Das ist also minus 11.
Größer oder gleich haben wir hier.
Und dabei kleiner als minus 4.
Das ist also minus 4.
Wir schließen minus 4 nicht ein, weil das den Nenner und die ganze Ungleichung undefiniert macht.
Es wird den Nenner gleich 0 machen.
Also das ist unsere Lösung.
Die Werte im Intervall, der minus 11, aber nicht minus 4 beinhaltet.
Also, wenn ihr diese Aufgabe lösen könnt,
dann könnt ihr so ziemlich jede rationale Ungleichung in den Griff bekommen.
Viel Spaß.