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X
...
Wir sind jetzt bei Aufgabe 48.
Wenn man x^2 und x addiert, ergibt sich 42.
Also, lasst uns das aufschreiben.
Wenn x^2 + x =42.
Welche der Werte hier könnte x sein?
Also eigentlich sollen wir diese Gleichung lösen.
Am einfachsten schreibt man x im quadrat,
setzt es gleich 0 und multiplizier es aus.
Also können man schreiben: x quadrat +x -42
= 0
Lasst uns überlegen.
Welche zwei Zahlen ergeben 1, wenn man sie addiert,
und ergeben -42 wenn man sie multipliziert?
Die Tatsache, dass die beiden Zahlen -42 ergeben, wenn man sie multipliziert,
zeigt uns, dass eine von ihnen positiv und die andere
negativ sein muss.
Das ist die einzige Möglichkeit, eine negative Zahl zu bekommen,
wenn man 2 Zahlen multipliziert.
Also muss eine davon positiv und eine davon
negativ sein.
Und wenn wir eine positive und eine negative Zahl addieren
bekommen wir die Differenz zwischen den beiden.
Also, die Differenz zwischen den beiden Zahlen muss 1 sein
und das Produkt 42.
Und ich habe gemerkt, wenn is 42 sehe denke ich sofort
an 6 und 7
6 * 7 =42
Und wenn man sie addiert bekommt man eine positive 1, 7 ist
also warscheinlich die positive Zahl und 6 die negative, oder 6 ist möglicherweise
die negative.
Also lasst es uns ausprobieren!
x + 7 * x - 6 = 0
Und wirklich, 7* (-6) = -42
Eigentlich heißt es 7x + (-6)x ergibt ein positives x
Oder man könnte sage, 7 + (-6) ist gleich dem
Koeffizienten von x, welcher 1 ist.
Auf jeden Fall funktioniert das.
Du kannst das ausprobieren und ausmultiplizieren.
Was ich hier sage ist kein VooDoo Zauber
Der Grund weshalb ich sage, dass sie zusammen 1 ergeben müssen ist,
dass das den Term erstellt,
wenn man es ausmultipliziert.
Dieses 7 mal x + (-6) mal x
Das erstellt den Term, wenn man es ausmultipliziert
Der Term stammt aus dem x * x
Die -42 komm vom 7 * (-6)
Jeden falls sind wir jetzt an diesem Punkt angelangt.
Wir sagen OK, also wie bekommen wir das? Wir haben zwei Zahlen,
und wenn man sie ausmultipliziert ergeben sie 0
Das heißt also, dass eine oder beide der Zahlen
gleich 0 sein müssen.
und das bedeutet, dass x + 7 = 0, was heißen würde,
man müsste 7 auf beiden seiten abziehen.
Also ist x = -7
Oder x -6 =0
Addiere 6 auf beiden Seiten und x = 6.
x wäre als 6 oder -7.
Uns sie haben eine der Möglichkeiten da.
Möglichkeit A
Nächstes Problem.
49.
Welche Zahl muss auf beiden Seiten der Gleichung hinzugefügt werden,
um die Quadrat-Funktion zu vervollständigen
Wenn man die Quadrat-Funktion vervollständigt hat, will man ja,
dass es aussieht wie... man will dass das was auf der linken seite steht
aussieht wie eine perfekte Quadrat-Funktion
Und was meine ich mit perfekte Quadrat-Funktion?
Also, wenn ich x+a^2 = (x+a) * (x+a)
habe.
und das hier ist gleich x*x, also x^2.
und x mal dieses a ergibt das ax.
und dann dieses a mal dem x.
das ergibt noch ein ax.
plus das a*a
das ist a^2.
und das alles ist gleich x^2.
Plus, wir haben ja 2 davon, plus 2ax plus a^2.
Also im Prinziep wollen wir dass die linke Seite
diese Form annimmt.
Also dass man sagen kann, es ist eine perfekte Quadrat-Funktion.
So dass man sagen kann, es ist das Gleiche wie x+a^2.
Also, lasst uns darüber nachdenken, wie man das machen kann.
Wir haben: x^2 - 8x = 5
und die Lücke hier hat einen Grund, denn wir wollen ja etwas addieren oder
subtrahieren, damit es in der richtigen Form ist.
Also denk darüber anch.
Wir haben diese Form und wollen, dass das hier
eine perfekte Quadrat-Funktion wird, egal, was hier der Koeffizient ist,
dieser Term hier muss davon die Hälfte im quadrat sein.
a^2 ist die Hälfte von 2a^2.
also wenn wir die Hälfte von -8 nehmen, ist das -4.
Angenommen, 2a = 8,
dann wäre a = -4
Und -4^2 ist was?
Es ist +16
und das ist eine Gleichung.
Und was man auf einer Seite der Gleichung macht,
muss man auch auf der anderen Seite machen.
Also muss man schreiben, dass das auch gleich +16 ist.
Also addiert man 16 zu beiden Seiten der Gleichung.
Ansonsten würde man die Gleichung ändern.
Jetzt, hoffentlich erkennst du schon, dass das schon eine
perfekte Quadrat-Funktion ist.
Ich meine, man kann die Form hier oben anschaun,
oder man kann sagen ok, wenn ich -4 zweimal zu sich selbst addiere bekomme ich -8
Wenn ich es mit sich selbst multipliziere, bekomme ich 16
also ist das x - 4^2.
und das ist gleich 25.
Und, wenn du neugierig bist, wir haben das
Khan Academy gemacht, wir haben ein paar Videos dazu,
so belegt man die quadratische Gleichung
Eigentlich haben wir die Quadrat-Funktion mit den wilkürlichen Zahlen
a, b und c, gelöst und die quadratische Gleichung erhalten.
und naja, wir haben das hier in 10 Minuten gezeigt, also ist es nicht wirklich
unmöglich schwer zu verstehen.
Die wollen nur wissen, was man auf beiden Seiten
der Gleichung hinzufügen muss.
Welche Zahl auf beiden Seiten hinzugefügt werden muss,
um das Quadrat zu vervollständigen.
Also die Antwort hierzu war 16.
Aber sie könnten genauso gut gesagt haben, löse die Gleichung
indem du das Quadrat vervollständigst.
und du sagst, oh, x-4^2=25
Also ist x-4 = plus oder minus 5
und dann kannst du sagen
x ist plus oder minus 5+4
und das ist dann
9
oder -1
Jedenfalls haben sie uns nicht danach gefragt, also müssen wir auch nicht
zu viel zeit damit verbringen darüber nachzudenken.
...
Also, wir sind bei Aufgabe 50
Nr. 50
Ich werde 50 und 51 mal kopieren und hier einfügen
Gut, was sind die Lösungen für die quadratische Gleichung
x^2 + 6x = 16 ?
und man wird hier wirklich dazu verführt die Gleichung so zu lösen,
wie man lineare Gleichungen löst.
Naja, also ein x ausmultiplizieren und so...
was auch immer...
Aber das wichtige ist, zu erkennen,
dass es eine quadratische Gleichung ist.
und am einfachsten löst man sie, in dem man alle Terme
auf eine Seite bringt und dann eine 0 auf der anderen Seite hat.
Und dann entweder ausmultiplizieren oder benutze
die tatsächliche quadratische Gleichung
oder vervollständige die Quadrat-Funktion. Was auch immer du tun sollst.
Also lass uns 16 von beiden Seiten abziehen
dann bekommt man x^2 plus 6x minus 16 = 0
Ich habe nur 16 von beiden Seiten abgezogen um das zu erreichen.
Aber bevor wir einfach so in die quadratische Gleichung springen
schauen wir, ob wir etwas nur vom anschauen her ausklammen können.
Also, welche beiden Zahlen ergeben 6 wenn man sie addiert, also eine positive 6
und ergeben -16 wenn man sie multipliziert?
Und nochmal, da man MINUS 16 bekommt, wenn man zwei Zahlen multipliziert
bekommt man eine NEGATIVE Zahl.
Da müssen also verschiedene Vorzeichen sein.
Eins muss positiv, das andere negativ sein.
Und ihre Differenz ist 6, weil eine positiv, und die andere
negativ ist.
Also lasst mich mal überlegen.
Wenn ich minus hätte, naja, 8 und 2 = 16
und da bleiben 6 übrig
Also wenn ich 8 und -2 nehme, ok,
plus 8 und minus 2 ergeben eine positive 6
also ist das x + 8x -2
eigentlich braucht man dafür nur eine Menge Ü***.
Du sagst also, OK, welche zwei Zahlen?
16
ok
8 und 2
naja, da müssen veschiedene Vorzeichen stehn,
Aber ich hab hier ein Plus also welche Zahl auch immer
größer ist, ist warscheinlich die positive.
also +8 und -2
***, und wenn man die zusammen zählt ergeben sie -6
Yeah, es funktioniert.
Also setzt man das gleich 0
du sagst, ok, das muss gleich 0 sein,
oder dass muss gleich 0 sein.
also entweder ist x = -8, weil
wenn man sagt x + 8 = 0, und dann 8 von beiden Seiten abzieht,
ist x = -8
ich hätte diesen Schritt nicht überspringen sollen.
Ich werde das hier machen,
Also, oder man könnte sagen x - 2 = 0
Addiert 2 zu beiden Seiten und man bekommt x = 2.
Welches x mach den Term also gleich 0?
und man kann das vom anschauen herausfinden
Also, x kann entweder -8 oder 2 sein, und dass ist die Auswahl C.
Aufgabe 51.
Leanne hat die Gleichung x^2 + 4x = 6 richtig gelöst
indem sie die Quadrat-Funktion vervollständigt hat.
Welche Gleichung ist Teil ihrer Lösung?
Ok, also das Gleiche hier.
x^2 +4x
Wenn man die Quadrat-Funktion vervollständigt,
fügt man hier etwas hinzu.
Ich lass hier etwas frei.
ist gleich 6.
Also was kann ich hier hinzufügen, damit der Term aussieht
wie eine richtige Quadrat-Funktion?
Naja, wir können wieder die Form benutzen,
die wir einige Aufgaben zuvor genommen haben.
Das was hier ist, muss das quadrat der Hälfte davon sein.
4, also die Hälfte davon ist 2.
2 zum quadrat ist 4.
Also muss ich auf dieser Seite 4 hinzufügen.
Wenn hier hier 4 addiere, muss ich das auch
auf der anderen Seite.
Und jetzt, 2 + 2 = 4
2*2=4
Also ist das x plus 2^2.
Ich will dass du das intuitiv machen kannst.
Lern die *** nicht auswendig,
ich will, dass du wirklich verstehst, warum das so funktioniert.
Warum das hier das Quadrat der Hälfte davon ist,
wir haben das am Anfang gezeigt.
Quadriere ein paar Binomische formeln und schau selbst,
dass das immer so funktionieren wird.
Jedenfalls ist das x+2^2.
Das ist gleich... 6 plus 4 ist gleich 10
und das ist Möglichkeit B.
...
Ich glaube wir haben Zeit für noch eine Aufgabe.
Eine Aufgabe mehr. Nummer 52.
Kopiert und eingefügt
Carter löst diese Gleichung in dem er faktorisiert.
Welcher Term könnte einer seiner richtigen Faktoren sein?
Noch einmal würde ich gerne selbst die nummer herausfinden,
die in alle davon geht.
Und alle der Zahlen sind teilbar durch 5.
Das macht es nur einfacher in meinem Kopf
Wenn ich alle durch 5 teile... ich könnte eigentlich gleich
beide Seiten der Gleichung durch 5 teilen.
0 geteilt durch 5 =0
Und die linke Seite geteilt durch 5
wird zu 2x^2 - 5x +3 und das =0
Wenn das hier 2x^2 ist, also sind es zwei Zahlen,
die wenn man sie multipliziert 3 ergeben und wenn man...
also lasst uns ein bisschen darüber nachdenken.
Also eigentlich... lasst mich das hier hinschreiben,
weil ich glaube ich werde mehr Platz brauchen.
2x^2 - 5x +3 = 0
Ich dividiere beide seiten der Gleichung
mit 5 und das zu bekommen.
Lasst uns sehen was man hier machen kann.
Wir haben also ein 2x^2 hier und die haben uns schon irgendwie
gezeigt, dass wir eine ganzzahlige Lösung haben werden,
also können wir das faktorisieren.
Das hier wird zu
(2x mal... + etwas)
+a
mal was?
warscheinlich mal x, oder?
2x mal x ergibt 2x^2
Naja, das wäre nicht ganz offensichtlich wenn
sie uns nich schon gesagt hätten, dass wir das faktorisieren können.
Möglicherweise muss man
eine quatratische Gleichung verwenden oder sowas.
Eigentlich wäre es garnicht schlecht, die quadratische Funktion
hier zu verwenden, weil man einfach
irgendwie einsetzten und herausnehmen könnte
Aber lasst uns sehn wie wir hier weiterkommen.
Also das ist 2x plus etwas mal x plus
etwas anderes
wenn wir das ausmultiplizieren würden bekäme man 2x mal x = 2x^2
Wie es sollte,
2x mal b ist +2bx
a mal x ist plus ax
a mal b ist plus ab
und jetzt schaun wir was das ergibt.
...
Also. Plus 2b plus ax plus ab
2x^2
ok jetzt können wir sehn wie die Formen stimmen.
Das war der ursprüngliche Term.
Also 2 mal b plus a muss gleich diesem Term hier sein.
Es ist das gleiche oder?
Und dieser Term hier muss das Gleiche sein
wie dieser Term.
Also als Erstes habe ich eine positive 3 hier.
Also multipliziere ich zwei Zahlen um eine positive 3 zu erhalten.
Etweder müssen sie beide Positiv oder beide Negativ sein.
Und das nächste interessante ist, wenn ich
2 mal eine der Zahlen zur anderen addiere,
bekomme ich eine negative Zahl.
Die einzige Möglichkeit, wenn man mit negativen Zahlen zu tun hat,
und wenn man sie mit einer positiven Zahl multipliziert und sie
zueinander addiert und man eine negative Zahl bekommt, ist, wenn
sie beide negativ sind.
Das zeigt uns, sie müssen beide negative Zahlen sein,
weil die hier positiv ist.
Und dann, weil man sie ohne negative Vorzeichen addiert,
bekommt man eine negative Zahl, das zeigt dir, dass
diese auch negativ sein muss.
Also lasst uns mal schauen.
Lasst uns einfach ausprobieren. Negative 3 und negative 1.
-3 und -1
Also richtig
Yeah.
Wenn b = -1 und a = -3
dann ist 2 mal -1 = -2
Minus 3
Ok, also b = -1 und a = -3
Das ist eine Kunstform ein bisschen.
Ich meine, es gibt keinen mechanischen Weg,
das zu tun.
Die quadratische Gleichung wäre eine Möglichkeit, aber das hier ist die beste Art,
dass ich weiß wie man es ohne macht.
Also wir wissen, was a und b ist.
es ist 2x, ... a ist -3
(2x-3)*(x+b)
Das ist die Faktorisierung
also (2x-3)*(x-1), welche?
Sie haben das hier.
2x - 3
Und ich hab keine Zeit mehr.
Wir sehen uns im nächsten Video!