Tip:
Highlight text to annotate it
X
Betrachten wir noch einmal die Sphäre S2 und die Parallelen.
Über jedem Punkt von S2
stellen wir uns einen Hopf'schen Kreis vor.
Wir wollen nun beobachten, was sich über einer der Parallelen von S2 befindet,
z.B. über dem Äquator.
Hier sehen wir, was sich über einer anderen Parallelen befindet,
die näher am Südpol angesiedelt ist.
Warum scheint der Torus nun ganz dünn zu werden ?
Weil über dem Südpol natürlich nur ein einziger Kreis liegt.
Und über dem Nordpol sieht man eine Gerade:
Eigentlich ist es ein Kreis, der durch den Punkt Unendlich geht:
Es ist die rote Gerade !
Achtung: Jetzt wollen wir das Ganze doch einmal herumdrehen!
Herumdrehen, jawohl, aber es handelt sich um eine Drehung
in der Dimension 4, bitte nicht vergessen!
Um ehrlich zu sein muss ich zugeben, dass ein Teil dieser Bilder
bereits lange Zeit vor mir wohlbekannt war.
Man rechnet dem Marquis de Villarceau
die Entdeckung von 4 Familien von Kreisen auf dem Torus zu,
aber eigentlich findet man bereits Spuren davon
auf einer Skulptur im Straßburger Münster.
Betrachten wir einen Rotationstorus:
Es handelt sich um die Fläche, die von einem Kreis beschrieben wird,
während dieser sich um eine Achse dreht, die in der gleichen Ebene liegt wie der Kreis.
Betrachten wir nun den Schnitt einer Ebene durch den Torus.
Beachten Sie bitte, wie ich diese Ebene gewählt habe.
Man sagt, sie sei "bitangential" zum Torus,
und zwar deswegen, weil sie in genau zwei Punkten den Torus tangential berührt.
Aber schauen wir doch genauer hin:
Die Ebene schneidet den Torus in zwei perfekten Kreisen!
Dies ist der Satz von Villarceau:
Eine bitangentiale Ebene schneidet den Torus genau in zwei Kreisen.
Allerdings gibt es nicht nur eine bitangentiale Ebene.
Hier ist eine andere, die zwei andere Villarceau'sche Schnittkreise auf dem Torus hat.
Das Gleiche kann man mit allen bitangentialen Ebenen genauso machen:
Es genügt, die entsprechende Drehung durchzuführen.
Sie sehen, durch jeden Punkt eines Rotationstorus
kann man vier Kreise legen,
die gerade die Schnittkreise mit einer geeignet gewählten Ebene sind.
Der eine der Kreise ist ein Parallelkreis,
ein anderer ein Längskreis,
dazu kommt ein erster Villarceau-Kreis,
und dann noch ein ebensolcher zweiter.
Und da man das Gleiche an jedem Punkt des Torus machen kann,
sehen wir, dass der Torus überdeckt wird durch vier verschiedene Familien von Kreisen.
Je zwei Kreise der gleichen Familie begegnen sich nicht.
Ein blauer Kreis trifft einen roten Kreis in genau einem Punkt.
Ein gelber und ein weißer Kreis schneiden sich in zwei Punkten:
Es sind Villarceau'sche Kreise.
Schauen Sie bitte noch einmal auf die gelben Kreise:
Dies sind Hopf'sche Kreise!
Besinnen Sie sich noch darauf, dass wir beobachtet haben,
was sich über einem Parallelen der Faserung befindet?
Man sah einen Torus, der von Kreisen ausgefüllt war, von denen je zwei verkettet waren:
genauso, wie dieser von gelben Kreisen ausgefüllte Torus.
Und was ist mit den weißen Kreisen?
Nun ja, das sind Fasern einer zweiten Hopf'schen Faserung!
Diese erhält man, indem die vorhergehende Faserung gespiegelt wird ...
Um unseren Rundgang zu beenden,
nehmen wir noch einmal den Rotationstorus
mit seinen vier Kreisfamilien,
stellen ihn uns in der Sphäre S3 vor,
und drehen diese dann im 4-dimensionalen Raum,
um sie schließlich stereographisch
auf den 3-dimensionalen Raum zu projezieren.
Dadurch erhält man Flächen,
die ebenfalls durch 4 verschiedene Familien von Kreisen überdeckt werden:
Das sind die Zykliden von Dupin.
Zuweilen, nämlich wenn der Torus den Ursprungspunkt der Projektion enthält,
kommt es vor, dass diese Fläche durch den Punkt Unendlich geht ...
Bei dieser Bewegung kann es vorkommen, dass die beiden Seiten miteinander vertauscht werden.
Das Innere des Torus ist rosa, das Äußere grün.
Und eine einfache Rotation in der 4. Dimension bewirkt, dass, hoppla,
grün zu rosa und rosa zu grün wird.
Ist das nicht großartig ?