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Eine Übungsaufgabe zum idealen Gasgesetz.
Zur Erinnerung:
das ideale Gasgesetz fasst die Gesetze von BOYLE-MARIOTTE,
CHARLES, GAY-LUSSAC
und AVOGADRO zusammen in
p = n*R*T/V;
es ist die Zustandsgleichung
eines idealen Gases.
Für Gasmischungen hat DALTON den sog. Partialdruck p(i) eingeführt,
der sich als
p(i)=y(i)*p(ges) Gesamtdruck p(ges) mal Molenbruch y(i)
der jeweiligen
Komponente i.
In einem Behälter befinden sich Stickstoff und Sauerstoff.
Es sollen
- die Dichte dieses Gemisch - das Molvolumen und
- die mittlere Translationsenergie
der Stickstoff-Moleküle
berechnet werden.
Wir skizzieren das Zweikomponentensystem
Blau für Sauerstoff
Grün für
Stickstoff
Masse des Stickstoffs: 2,8 g Masse des Sauerstoffs: 3,2 g
Wir rechnen die Massen in Stoffmengen um (n=m/M) und erhalten
n(O2) = 0,1 mol
Stickstoff und n(N2) = 0,1 mol
Sauerstoff.
In dieser äquimolaren Mischung
ist der Molenbruch
(der Stoffmengenanteil y)
von Stickstoff und von Sauerstoff 50 Mol-%. y(N2) = y(O2) = 0,5
Nach dem
DALTONschen
Gesetz
den Partialdruck ausrechnen:
(jeweils die Hälfte des Gesamtdruckes für Stickstoff und Sauerstoff)
p(N2) = 50 000 Pa
für Stickstoff und p(O2) = 50 000 Pa für Sauerstoff.
Das Molvolumen (molares Volumen) erhalten wir
nach der idealen Gasgleichung V=nRT/p.
Wir setzen für n die gesamte Stoffmenge aller Gase, also 0,2 mol, ein.
Die ideale Gaskonstante in SI-Einheiten beträgt 8,314 J/(mol * K)
die Standardtemperatur beträgt 298,15 K; 100 000 Pa ist
der Standarddruck. Das Volumen der Mischung
beträgt 0,00496 m³ oder
4,96 Liter.
Ca. 5 Liter auf 0,2 mol, dies entspricht einem
Molvolumen V/n von 0,0248 m³/mol oder 24,8 L/mol.
(knapp 25 Liter)
(Jedes ideale Gas und jede ideale Gasmischung besitzt bei Standardbedingungen
das Molvolumen
24,8 L/mol)
Dichte ist definiert als Masse durch Volumen rho = m/V
Die Gesamtmasse beträgt 6 g,
das Volumen beträgt 4,96 Liter,
damit errechnet sich die Dichte zu 1,2 g/L oder
1,2 kg/m³.
Man kann die
Dichte auch als Quotient aus Molmasse und Molvolumen berechnen.
Für Gasmischungen wird die mittlere Molmasse benötigt
die mittlere Molmasse
errechnet sich
bei 2 Komponenten als
Molenbruch Komponente 1 * Molmasse Komponente 1
plus Molenbruch Komponente 2 * Molmasse Komponente 2
Für unser Gasgemisch ergibt das eine mittlere Molmasse von 30 g/mol.
Wir dividieren durch
das Molvolumen und erhalten wieder 1,2 g/L.
(Gramm pro Liter)
Um die Geschwindigkeitsverteilung
der Gasteilchen nach der
MAXWELL-BOLTZMANNsche Theorie
zu berechnen, benötigen wir Masse und Temperatur.
(hier die Verteilung für Stickstoff und verschiedene Temperaturen)
Zur Berechnung der mittleren Energie
wird nur die Temperatur benötigt. Tatsächlich ist die Temperatur nach der kinetischen Gastheorie
ein Maß für die mittlere Translationsenergie
und
mit der Beziehung E(trans) = 3/2 * BOLTZMANN-Konstante * T
erhalten wir bei Raumtemperatur (298 K)
eine mittlere Translationsenergie von 0,04 eV
Dieser Wert gilt sowohl für die Stickstoff-Teilchen als auch für die
Sauerstoff-Teichen.
Für ein Mol erhalten wir (durch Multiplikation mit der AVOGADRO Zahl)
3,72 Kilojoule für die
thermische (Translations-) Energie.