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Willkommen bei der Präsentation mit Ableiten
Ich denke, du wirst feststellen, dass diese, wenn Mathematik beginnt, wird
zu werden, viel mehr Spaß, als es war nur ein paar Themen vor.
Nun lasst uns mit unseren Ableitungen loslegen.
Ich weiß, es klingt sehr kompliziert.
Nun, in der Regel, wenn ich eine gerade Linie - lassen Sie mich sehen, ob ich
kann eine gerade Linie zu ziehen richtig - wenn ich gerade hatte
Linie - das ist mein Koordinatenachsen, die nicht gerade -
Dies ist eine gerade Linie.
Aber wenn ich eine gerade Linie so, und ich bitte Sie,
finden die Piste - ich denke, Sie wissen bereits, wie dies zu tun -
das ist nur der Wandel in der y Veränderung x. aufgeteilt
Wenn ich auf die Piste zu finden wollte - ich meine wirklich die Steigung der
gleich, weil es eine gerade Linie ist, ist die Steigung der gleichen
über die gesamte Linie, aber wenn ich will, um die Steigung zu jedem finden
Punkt in dieser Linie, was ich tun würde ist, würde ich einen Pick
Punkt x - sagen, dass ich diesen Punkt holen.
Wir hatten eine andere Farbe wählen - ich würde diesen Punkt zu nehmen, würde ich nehmen
diesem Punkt - es ist ziemlich willkürlich, konnte ich wählen zwei beliebige
Punkte, und ich würde herausfinden, was die Veränderung in y ist - dies
ist die Veränderung in y, delta y, dass nur eine andere Art der
sagen Veränderung in y - und das ist die Änderung in x.
delta x.
Und wir herausgefunden, dass die Steigung wirklich ist definiert als
Veränderung in y durch eine Änderung in x. geteilt
Und eine andere Art zu sagen, das ist delta - das ist das Dreieck -
delta y durch delta x. geteilt
Sehr einfach.
Was passiert nun aber, wenn wir nicht zu tun haben
mit einer geraden Linie?
Lassen Sie mich sehen, ob ich Platz für die zu ziehen sind.
Ein weiterer Koordinatenachsen.
Immer noch ziemlich chaotisch, aber ich denke, du wirst den Punkt zu kommen.
Jetzt sagen wir, anstatt nur eine reguläre Zeile wie diese, dieses
folgt der Standard-y gleich MX plus b.
Sagen wir einfach, ich hatte die Kurve y gleich x zum Quadrat.
Lassen Sie mich ziehen Sie es in einer anderen Farbe.
So y gleich x Quadrat sieht ungefähr so aus.
Es ist eine Kurve, sind Sie wahrscheinlich recht vertraut mit ihm jetzt.
Und was ich Sie fragen, ist, was ist das
Steigung dieser Kurve?
Und daran denken.
Was bedeutet es, um die Steigung einer Kurve nun?
Nun, in dieser Linie, war die Steigung überall gleich
der ganzen Linie.
Aber wenn man diese Kurve anschaut, ändert dies nicht
die Steigung, richtig ?
Hier ist es fast flach, und es wird immer steiler steiler steiler
steileren steiler, bis wird ziemlich steil.
Und wenn Sie wirklich weit gehen, wird es extrem steil.
So werden Sie wahrscheinlich sagen haben, auch, wie Sie herausfinden,
die Steigung einer Kurve, deren Steigung ändert sich ständig?
Nun, es ist keine Neigung für die gesamte Kurve.
Für eine Linie gibt es eine Piste für die gesamte Linie, weil
die Steigung ändert sich nie.
Aber was könnten wir versuchen zu tun ist, herauszufinden, was die
Steigung an einem bestimmten Punkt.
Und die Steigung zu einem bestimmten Zeitpunkt wäre der gleiche wie der sein
Steigung einer Tangente.
Zum Beispiel - lassen Sie mich wählen Sie einen grün - die Steigung an dieser Stelle
hier wären die gleichen wie die Steigung dieser Geraden werden.
Right?
Da diese Linie ist Tangente an sie.
So ist es gerade berührt, dass die Kurve, und genau in diesem Punkt, sie
hätte - das blaue Kurve, gleich y x zum Quadrat, hätte
die gleiche Neigung wie das grüne Linie.
Aber wenn wir zu einem Punkt, wieder hier zu gehen, obwohl dies ein
wirklich schlecht Diagramm gezeichnet, wäre die Steigung
etwas wie dieses.
Die Steigung der Tangente.
Die Steigung wäre eine negative Steigung, und hier ist es eine positive
Steigung, aber wenn wir einen Punkt haben hier wäre die Steigung
sogar noch positiv.
Also, wie machen wir, um dies herauszufinden?
Wie werden wir herausfinden, was die Steigung an jedem Punkt
entlang der Kurve y gleich x zum Quadrat?
Das ist, wo das Ableiten zum Einsatz kommt, und jetzt für die
Erstmals sehen Sie tatsächlich, warum eine Grenze eigentlich
ein nützliches Konzept ist.
Also lassen Sie mich versuchen, die Kurve zu zeichnen.
OK, ich werde mein Achsen ziehen, das ist die y-Achse - ich tue es einfach in
ersten Quadranten - und das ist - ich habe wirklich eine zu finden
besseres Werkzeug zu tun meine - das ist x-Koordinate, und dann lassen
mich ziehe meine Kurve in gelb.
So y gleich x Quadrat sieht ungefähr so aus.
Ich bin wirklich konzentrieren, um diese zu zeichnen
zumindest anständig gut.
OK.
Lassen Sie uns also sagen, wir wollen die Steigung an dieser Stelle zu finden.
Nennen wir diesen Punkt a.
An dieser Stelle gleich x a.
Und natürlich ist das f von a.
Also, was können wir versuchen zu tun ist, könnten wir versuchen, zu finden
die Steigung einer Sekante.
Eine Linie zwischen - wir nehmen einen anderen Punkt, sagen wir, etwas
nahe, zu diesem Punkt auf dem Graphen, lassen Sie uns hier zu sagen, und wenn
konnten wir herausfinden, die Steigung dieser Geraden, wäre es eine werden
bit einer Angleichung der Steigung der Kurve
Genau an diesem Punkt.
Also lass mich ziehen, dass Sekante.
So etwas Ähnliches.
Sekante sieht so ähnlich.
Und sagen wir mal, dass dieser Punkt hier ein Plus h ist, wo
dieser Abstand ist nur h, das ein Plus h ist, sind wir gerade dabei
h entfernt von einem, und dann ist dieser Punkt hier
ist f von a plus h.
Meine Feder ist defekt.
So würde dies eine Annäherung für das, was die
Steigung an dieser Stelle ist.
Und je näher das h wird, desto näher dieser Zeitpunkt kommt, um
dieser Stelle ist, desto besser unsere Annäherung sein wird,
den ganzen Weg bis zu dem Punkt, dass, wenn wir wirklich die
Steigung, wo h gleich 0, das wäre eigentlich die Steigung,
die momentane Steigung an diesem Punkt in der Kurve.
Aber wie können wir herausfinden, was die Neigung, wenn h gleich 0 ist?
So jetzt sind wir zu sagen, dass die Steigung zwischen diesen beiden
Punkte, wäre die Änderung in y sein, so was
die Änderung in y?
Es ist diese, so dass dieser Punkt hier ist - die x
Koordinate ist - mein Ding einfach immer durcheinander - die x
Koordinate ist ein Plus h, und die y-Koordinate ist f von a plus h.
Und dieser Punkt hier ist die Koordinate a und f der a.
Also, wenn wir nur die Standard-Steigungs-Formel, wie vorher, wir
würde sich ändern, in y über Änderungen in x. sagen
Nun, was ist die Änderung in y?
Es ist f von a plus h - das Y-Koordinate minus dieses y
koordinieren - minus f von a über die Änderung in x.
Nun, das zu ändern in x ist x-Koordinate, ein Plus h, minus
Diese x-Koordinate, minus a.
Und natürlich das eine und das ist ein aufheben.
Es ist also f von a plus h, minus f einer, der ganzen h.
Das ist nur die Neigung dieser Sekante.
Und wenn wir die Steigung der Tangente erhalten wollen, würden wir
einfach zu finden, was passiert, wenn h kleiner wird und
kleiner und kleiner.
Und ich denke, Sie wissen, wohin ich gehe.
Wirklich, wir wollen nur, wenn wir die Steigung dieser Tangentenlinie finden wollen
, wir müssen nur die Grenze dieses
Wert als h gegen 0.
Und dann, als h gegen 0, diese Sekantewird
näher und näher an die Steigung der Tangente.
Und dann wissen wir die exakte Steigung an dem momentanen
Punkt entlang der Kurve.
Und tatsächlich stellt sich heraus, dass dies die Definition
des Ableiten ist
Und die Ableitung ist nichts anderes als die Steigung einer
Kurve bei einem exakten Punkt.
Und das ist super nützlich, da zum ersten Mal,
alles, was wir über diesen Punkt gesprochen haben, ist
die Steigung einer Geraden.
Aber jetzt können wir irgendeine stetige Kurve, oder die meisten
kontinuierliche Kurvennehmen, und davon die Steigung dieser Kurve
an einem genauen Punkt nehmen.
So, jetzt habe ich euch die Definition dessen, was eine Ableitung
ist, und vielleicht hoffentlich ein bisschen Intuition, in der
nächste Präsentation Ich werde diese Definition tatsächlich auf einige Funktionen
anwenden, wie x quadriert und andere, und
Ihnen noch Probleme geben.
Ich werde dich in die nächste Präsentation sehen.