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X
In diesem Video möchte ich euch das sehr wichtige Konzept des Grenzwerts vorstellen.
Die gesamte Analysis basiert auf dieser Idee.
Obwohl diese Idee so super wichtig ist, ist sie doch sehr einfach.
Zunächst zeichne ich hier eine Funktion - oder besser gesagt ich definiere eine Funktion.
Eine relative einfache Funktion f(x). Sagen wir mal f(x) sei f(x)=(x-1)/(x-1).
Nun könntest du sagen: "Hey Sal, schau mal, ich habe das gleiche im Zähler, als auch im Nenner."
Wenn ich etwas durch sich selber teile, dann ergibt das doch eins! Kann ich dann nicht einfach f(x)=1 schreiben?"
Und ich würde sagen: "Nun, du hast fast recht. Der Unterschied zwischen f(x)=1 und diesem Ausdruck...
...hier ist, dass f(x) undefiniert ist, wenn x=1 ist. Was also passiert, wenn du
f(1) betrachtestt? Im Zähler erhälst du (1-1), was gleich...lass mich das hier aufschreiben...
im Zähler erhälst du 0 und im Nenner hast du (1-1), was auch gleich 0 ist. Damit dividierst du
durch 0 und egal was du durch 0 dividierst, 0/0 inbegriffen, ist undefiniert. Also kannst du die Vereinfachung machen - du kannst sagen, dass es
das Gleiche ist, wie f(x)=1, aber du müsstest die Einschränkung, dass x nicht gleich 1 sein darf, hinzufügen. Jetzt ist dies
und das gleichwertig. Beide werden gleich 1 sein, für alle Werte von x außer x=1. Aber
wenn x=1 ist, ist die Funktion undefiniert. Das ist undefiniert und dieses ebenso. Wie also würde ich diese Funktion zeichnen?
Lass es mich zeichnen... das ist meine y=f(x) Achse und das hier ist meine x-Achse, dann ist sagen wir
das der Punkt x=1, dass hier würde x=-1 sein und das ist y=1. Und genau da kann ich -1 platzieren aber das
macht keinen großen Unterschied für die Funktion hier, also lass es mich zeichnen. Für jedes x ausser
x=1 gilt f(x)=1. Es wird also so aussehen...außer bei x=1. Bei x=1 ist f(x) undefiniert, also
werde ich hier eine kleine Lücke lassen, die ich mit diesem Kreis hervorhebe, um anzudeuten, dass diese Funktion
nich definiert ist. Wir wissen nicht was diese Funktion bei 1 ergibt, da wir es nicht definiert haben.
Die Definition dieser Funktion sagt uns nicht was wir bei 1 machen sollen, sie ist in wörtlichem Sinne undefiniert wenn x=1 ist.
Also das hier ist die Funktion und wenn dich jemand fragt was f(1) ist würdest du...
die Funktion anschauen und sagen... oh warte, da ist eine Lücke in meiner Funktion
hier ist sie undefiniert. Also lass es mich nochmal hin schreiben... es wiederholt sich zwar, aber ich werde es nochmals schreiben.
f(1) ist zwar undefiniert, aber was ist wenn ich dich fragen würde welchem Wert sich die Funktion annähert,...
wenn x gegen 1 geht? Und nun kommen wir dem Konzept eines Grenzwerts näher. Wenn sich also x dem Wert 1 mehr und mehr nähert...
welchem Wert wird sich dann die Funktion nähern? Nun welchem Wert kommt die Funktion näher und näher?
Für die linke Seite gilt: egal wie nah du der 1 auch kommst, solange du nicht genau bei 1 bist, ist f(x)=1.
Von der rechten Seite aus machst du das Gleiche. Du könntest also sagen - und du wirst ...
es besser verstehen, wenn wir mehr Beispiele machen - dass der Grenzwert wenn
x (und lim, steht für limit, was englisch ist und Grenzwert bedeutet) - wenn x der 1 näher kommt ist der Grenzwert von f(x) gleich...
wenn wir näher kommen können wir unglaublich, unendlich nah an 1 kommen, solange wir nicht direkt bei 1 sind...
und unsere Funktion wird gleich 1 sein, sie kommt näher und näher an 1.
Eigentlich ist sie sogar die ganze Zeit bei 1. Also können wir in diesem Fall sagen, dass der Grenzwert (Limes) von f(x) wenn x gegen 1 geht
gleich 1 ist. Also nochmals, die ausgefallene Schreibweise, besagt nur: "Was macht diese Funktion,
wenn x näher und näher zur 1 kommt?"
Lass mich ein anderes Beispiel machen, bei dem wir mit Kurven zu tun haben, damit du ein generelles Verständnis des Konzepts hast.
Also sagen wir, dass ich eine Funktion f(x) habe, zur Abwechslung nennen ich sie g(x).
Sagen wir wir haben g(x) und definieren g(x) als x²,
wenn x nicht gleich 2 ist, und wir sagen, dass wenn x=2 ist, g(x)=1 ergibt. Also nochmal eine interessante
Funktion, die wie du sehen wirst nicht ganz durchgehend bzw. stetig ist. Sie hat eine Diskontinuität. Lass sie mich zeichnen.
Also das ist meine y=g(x) Achse, das ist meine x-Achse hier. Sagen wir das hier ist x=1 und das ist x=2,
das ist -1, das ist -2....Also überall außer bei x=2, ist die Funktion gleich x². Also lass es mich so zeichnen,
das wird eine Parabel und sie sieht etwa so aus...So wird es ungefähr aussehen...
Lass mich eine bessere Version zeichnen. Also wird es so aussehen, nicht die schönste
Parabel in der Geschichte aller Parabeln, aber es gibt dir wohl eine Vorstellung davon, wie eine Parabel
aus sieht, hoffe ich zumindest. Sie sollte symmetrisch sein...Lass es mich nochmal zeichnen, weil diese etwas unschön ist.
Das sieht besser aus. Gut.
Nun, das sollte der Graph für x² sein, aber die Funktion ist nicht x² wenn x=2 ist. Also nochmals, wenn x=2 ist,
sollten wir eine kleine Unstetigkeit haben, also zeichne ich hier eine Lücke,
weil die Funktion wenn x=2 ist 1 ergibt.
Ich mache sie nicht auf der gleichen Skala...Auf dem Graphen von g(x)=x² wäre das 4., das wäre 2,
das würde 1 sein, das würde 3 sein. Bei x=2 ergibt unsere Funktion 1.
Das ist eine bizarre Funktion, aber wir können sie so bestimmen. Du kannst eine Funktion bestimmen,
wie auch immer du willst! Beachte, dass es aussieht, wie der Graph von g(x)=x² außer wenn du zur 2 kommst,
wo es eine Lücke gibt, weil du nicht "g(x)=x² benutzt wenn x=2 ist" , sondern "g(x)=1".
...
Du benutzt g(x)=1, so dass der Graph bei 2 direkt auf den Wert 1 fällt und dann mit x² weiter geht.
Es gibt jetzt einige Dinge zu beachten. Wenn ich nur die Funktion an der Stelle g(2) auswerten sollte
könnte ich auf die Definition schauen. Okay. Wenn x=2 ist, habe ich diese Situation hier
und ich weiß, dass g(x)=1 ist. Lass mich eine interessantere Frage stellen.
Was ist der Grenzwert von g(x), wenn x gegen 2 geht? Wieder eine ausgefallene Schreibweise, aber
dahinter steckt eine sehr einfache Frage. "Wenn x näher und näher zur 2 kommt...
wenn du näher und näher kommst - und das ist keine willkürliche Definition, denn wir werden dieses Thema in einem anderen Video behandeln -
wenn x immer näher zum Wert 2 kommt, welchem Wert strebt dann g(x) entgegen?" Wenn du also zu x=1,9 und dann 1,999 und dann 1,999999
und dann 1,99999999 kommst, was passiert mit g(x). Wenn du aus positiver Richtung kommst
zum Beispiel 2,1 und fragen würdest, was der Wert von g(2,1) ist. Was ist g(2,01)? Was ist g(2,001)?
Welchem Wert nähert sich das Ganze, wenn wir immer näher kommen?
Und du kannst es sehen, indem du den Graphen zeichnest. Wenn g sich 2 nähert...
und wir entlang des Pfades gehen, dann sehen wir, dass wir den Wert 4 erreichen,
obwohl das nicht für die Funktion gilt, denn diese ist auf 1 gefallen, ist der Grenzwert von g(x),
wenn x gegen 2 geht, gleich 4. Du kannst das sogar mit einem Taschenrechner ausrechnen.
Lass mich das mal machen, weil ich glaube, dass es interessant ist.
Ich nehme also meinen Ti-85 Taschenrechner.... hier ist er... und man kann numerisch berechnen,
was für einem Wert die Funktion entgegen strebt, wenn man sich x=2 nähert. Versuchen wir es also mit 1,9. Für x=1,9 würde man dieses
"hoch" Zeichen nutzen. Man hätte also 1,9² und würde 3,61 erhalten.
Und was, wenn man noch näher zur 2 kommt? Also 1,99 und ich quadriere das wieder
und erhalte 3,96. Nun versuche ich es mit 1,999 und quadriere das.
Ich erhalte 3,996. Siehst du? Wir kommen immer näher zu unserem Punkt.
Wenn ich wirklich nach komme zum Beispiel 1.999999999999²? Was erhalte ich dann? Es wird nicht genau
4 sein (dieser Taschenrechner rundet die Zahl einfach auf), weil wir zu einer Zahl ganz ganz nah
bei 4 kommen. Wie können das auch aus der positiven Richtung machen und
es muss die gleiche Zahl sein, wenn wir von unten heran kommen. Nur werden
unsere Werte diesmal knapp über unserem Grenzwert liegen. Wenn wir also 2,1² berechnen erhalten wir 4,4...
Ich werde jetzt ein paar *** überspringen und
2,0001² berechnen. Das ist jetzt viel näher an x=2 und wir kommen damit viel näher an unseren Grenzwert 4.
Es ist also so, dass wir je näher wir zu x=2 kommen, umso näher auch dem Grenzwert 4 sind.
Das war jetzt ein numerischer Weg um zu sehen, dass der Grenzwert von g(x), wenn x aus positiver oder negativer Richtung
gegen 2 geht immer Näher an 4 kommt, obwohl die Funktion selbst am Punkt
x=2 als g(2)=1 definiert ist.