Tip:
Highlight text to annotate it
X
Nun, da ihr hoffentlich ein Grundwissen der
"Druck-Theorie" habt, werden wir dies nun benutzen um zu beweisen das das Limit-- Ich werde es
in Gelb machen-- Wenn x=0 vom Sinus x/x ergibt,
dann ist das Limit 1.
Und ihr müsst nun vor Vorfreude total aufgeregt sein,
weil ich es ja schon so oft gesagt habe
Also lass es uns machen, und eigentlich müssen wir, sie haben ja offensichtlich
unsere Trigonometrie, und es ist eigentlich ein optischer Beweis
Also lass mich zumindestens erstmal das erste und das vierte Quadrant
vom Einheitskreis zeichnen
Ich mach das hier mal in Magenta
Mal schauen, ob ich... I sollte
es sehr groß Zeichen...
Mal sehen...
Ich sollte es wirklich groß machen
Also ich mach es jetzt mal so
hmmm...
Das ist so gut
Und nun zeichne ich die Achsen ein
Also das ist die X-Achse, die sieht ungefähr so aus..
Achne, dass ist die y-Achse!
(malt die y-Achse)
So...
Und dann die X Achse ungefähr so..
Das ist unser Einheitenkreis
bitteschön!
Ich zeichne mal noch ein paar andere Dinge ein
Ich zeichne ein, nagut, das ist der Radius, aber ich werde
abseits des Einheitenkreises gehen
Also hier in etwa
Ein paar weitere Dinge, um das Problem aufzusetzen
Ne, das wollte ich eigentlich nicht machen
Ich will es von diesem Punkt hier machen
Genau so !
Und dann von diesem Punkt, will ich das machen
Und noch eine von diesem Punkt aus
Das werde ich so machen
Ja und jetzt geht's los!
Also, was hatte ich gesagt?
Das ist ein Einheitenkreis, richtig?
Also was ist das genau, was heißt das: Einheitenkreis?
Es ist ein Kreis mit einem Radius von 1
Also die Distanz von hier zu hier ist 1
Und wenn das ein Winkel x in Radianten ist, was ist die Länge?
von dieser Linie hier?
Wie lang ist diese Linie nun?
Okay, also sinus (x) ist definiert in
der y koordinate von irgendeinem Punkt in dem Kreis
Also das hier ist Sinus (x)
ja...
Also ich hab hier nicht genug Platz, ich mach hier mal einen Pfeil
Also das ist,... Das hier ist Sinus (x)
.
Also jetzt wird's ein wenig schwieriger
Was ist die Länge von der hier?
Also, l´mal überlegen!
Was ist der Tankens?
WAs war nochmal die SOHCAHTOA Definition von dem Tankens?
TOA.
Tankend ist TOA, ==> gegenüberliegende Seite/anliegende Seite
Also was ist der Tankens von x?
Also es würde sein,, wir könnten das so machen, wenn wir sagen
DAs das hier ein rechtwinkliges Dreieck ist, das hier würde
die Länge sein... Gegenüberliegende / anliegende, richtig?
Also lass uns die hier so nennen:
o für gegenüberliegende seite
Aber was ist die andere Länge?
Was ist die Basis von dem großen Dreieck?
Also das hier ist ja der Einheitenkreis
Also die Distanz von hier zu hier, diese Distanz ist dann
1, richtig?
Weil, das ist ja wieder nur der Radius.
Und der ist 1.
Also die Gegenüberliegende S./Anliegende S. ist der Tangens x.
Also gegenüberliegende/anliegende==> die anliegende Seite ist wieder nur 1 cm lang, stimmt's?
Also diese Seite hier würde also
genau Tangens von X sein.
Oder eine andere Art es zu sagen: Tangens (x) = diese Seite
durch 1, oder Tangens (x) ist die Länge dieser Seite
Ich schreib es mal hier hin
Diese Seite entspricht Tangens (x)
Also lass uns nun über die Area von ein paar Teilen hier nachdenken
voon dieser von mir Gemalten Figur
Vielleicht hätte ich es größer zeichnen sollen, aber ich
glaube das passt schon so
Also erstmal suchen wir uns ein relativ kleines Dreieck aus.
Also dieses hier ist gut.
Ich markiere es mal grün.
Also dieses gemarkte Dreieck, was ist
der Flächeninhalt?
Nun gut: 1/2baseHöhe
Also, die Base ist ja 1 also 1/2*base=0.5
richtig?
Es ist dieses ganze Dreieck
Aber was ist die Höhe?
Also, wir haben ja gerade herausgefunden, dass diese Höhe hier
Sinus (x) ist!
also *sin(x)
joa!.
Also es war hier dieses grüne Dreieck,
Also was ist die Area von, ... nicht dieses grüne
Ich mach es mal in einer anderen Farbe!
Hmm, ich werde es in rot machen!
Was ist die Area von diesem Kreisstück
Diesem hier Kreisstück hier
Diesem
Ich hoffe ihr könnt es sehen, ne die Farbe ist blöd
So, also dieses Kreisstück
NE ich mach es mal hier
Okay, jetzt nehme ich mal den Bogen hier,
Also es ist ein bisschen größer als das Dreieck
ja?
Es ist immer ein bisschen größer, weil es ja
hier noch den Platz zwischen Bogen und Dreieck hat
Was ist der Flächeninhalt vom Bogen/Kreisstück?
...
Also, wenn dieser Winkel hier X ist, welche Teil ist das
von dem ganzen Kreis gesamt?
Also es gibt zwei Kreisbögen in einem ganzen Einheitenkreis, richtig?
Also diese Fläche ist wie groß?
Sie ist genauso groß, wie der Teil x zu der Anzahl
aller Radianten im Einheitenkreis!
Also ==> x * Radianten / 2PIRadianten
im ganzen Kreis
Also das ist Art von Bruch, den von--Wissen Sie, wenn
wir haben es in Grad --den Bruch, den dies mehr als 360 ist
Grad, mal die ganze Kreisfläche, richtig?
Dies sagt uns welcher Bruchteil des Kreises sind wir, und wir sind
zu multiplizieren, die wollen mal den Bereich der
der ganze Kreis.
Nun, was die ganze Kreisfläche ist?
Nun, ist Pi R kariert, ist der Radius 1, richtig?
So ist die ganze Kreisfläche nur Pi.
Pi r quadriert, R 1, so ist die Fläche des Kreises--so dass die
Bereich dieser Keil hier geht jetzt gleich zu sein--
Diese Pi Abbrechen aus--ist es gleich x mehr als 2.
Damit die erste kleine Dreieck, das grüne Dreieck
Wir haben, ist der Sinus von X.
1/2 Sinus von X, das die grünen Dreieck ist.
Dann ist der etwas größere Bereich dieser Keil--wir dachten
draußen ist gerade jetzt--x mehr als 2.
Und jetzt werfen wir Bereich das größere Dreieck,
dieses großen Dreiecks.
Und das offensichtlichste sein kann.
Also 1/2 Base Mal Höhe.
Also, das ist 1/2--die Basis ist 1 wieder--1 ständig die
Höhe ist Tangens von X.
1/2 Tangens von x gleich.
Nun sollte klar schaut diesem Diagramm nicht sein
Egal, wo ich dieses Top-Line, das diesem grünen Dreieck zog
hat eine kleinere Fläche als dieser Keil, die eine kleinere Fläche hat
als dieses großen Dreieck.
Richtig?
Wir schreiben eine Ungleichung, die sagt, dass.
Das grüne Dreieck--Bereich das grüne Dreieck--also 1/2
der Sinus von X, das ist das grüne Dreieck--hat es
weniger als die Fläche dieser Keil.
Damit ist x mehr als 2.
Und sie sind beide weniger als diese großen Bereich
Dreieck, richtig?
Die 1/2 Tangens von x ist.
Wann ist das wahr?
Gilt dies so lange, wie wir im ersten Quadranten, richtig sind?
Solange wir im ersten Quadranten sind.
Es ist auch fast wahr, wenn wir in den vierten Quadranten gehen,
außer dann der Sinus von x negativ ist, wird die Tangente
von x negativ wird und x negativ wird.
Aber nehmen wir den absoluten Wert von allem, es noch
hält im vierten Quadranten.
Weil wenn man negativ, solange wir die Absolute nehmen
Wert, dann der Abstand wird immer noch halten und wir haben noch
positive Bereiche und all solche Sachen.
Denn mein Ziel ist, nehmen die Grenze als x Ansätze 0, und ich
nehmen die Grenze--in Ordnung für dieses Limit sein wollen
im Allgemeinen definiert, muss es aus der Positive wahr sein
und die negative Seite.
Werfen Sie den absoluten Wert der beiden Seiten davon.
Und hoffentlich macht dies Sinn für Sie.
Wenn ich die Grenze hier--unten ziehen und dies wäre die
Sinus von X, und das würde den Tangens von X--solange sein.
Sie nahm den absoluten Wert von allem, Sie sind im wesentlichen
genau tun das gleiche wie in den ersten Quadranten.
Werfen wir also den absoluten Wert von allem.
Und das sollte nicht etwas ändern, vor allem wenn Sie
im ersten Quadranten.
Und möchten Sie vielleicht darüber nachdenken, warum etwas
Es ändert nicht alles im zweiten Quadranten.
So haben wir diese Ungleichheit.
Mal sehen, ob wir mit diesem spielen kann.
Also zunächst einmal nur multiplizieren alles 2
und die 1/2 loszuwerden.
So wir absoluten Wert der Sinus von x bekommen ist weniger als absolute
Wert von X, die ist kleiner als der absolute Wert der
der Tangens von X.
Ich hoffe, dass ich Sie nicht verwirren, indem man den absoluten Wert.
Die ursprüngliche Ungleichheit schrieb ich war vollständig gültig in
im ersten Quadranten, aber da ich diese Ungleichheit möchte um wahr zu sein
in den ersten und vierten Quadranten weil ich dabei bin
die Grenze als x 0 Ansätze von beiden Seiten, habe ich, die
absoluter Wert gibt.
So konnte Sie ziehen Sie die Linie dort unten und alles tun, haben wir
bis es im vierten Quadranten, aber nur nehmen
der Absolute Wert, und es sollten die gleichen erarbeiten.
Sowieso zurück zum Problem.
So haben wir diese Ungleichheit.
Und I 'm running out of Space, lassen Sie mich einige löschen
von diesem Zeug hier oben.
Löschen.
Löschen.
Nein, nicht das Löschen.
Okay.
Die gelöscht werden sollten.
Okay.
Also könnten wir alle gelöscht, die uns bisher nahm.
Wir können dies aber nicht vergessen.
Dies gibt eine Menge Platz.
Okay.
Also lassen Sie uns dies, und lassen Sie uns diesen Ausdruck, und
Teilen Sie aller Seiten.
Sie wissen, und es hat drei Seiten, Links,
Mitte und rechts.
Dividieren sie alle durch den absoluten Wert des Sinus von X.
Und da wir wissen, dass der Absolute Wert der Sinus von x
eine positive Zahl, wir wissen, dass diese kleiner-als-Zeichen
ändern nicht direkt?
Also lassen Sie uns tun.
Also den absoluten Wert der Sinus von x geteilt durch die
Absolutbetrag der Sinus von x, nun, das ist gleich 1.
Die ist kleiner als der Absolutwert von x geteilt durch die
Absolutwert der Sinus von X.
Das ist weniger als--was ist der Absolute Wert der tan--also, alles
Ich mache ist, ich nehme den absoluten Wert des Sinus von X,
Absolutwert der Sinus von X, absoluten Wert der Sinus von X.
Also was ist der Absolute Wert der Tangens von x geteilt durch die
Absolutbetrag der Sinus von X?
Nun, ist Tangente nur Sinus Kosinus.
Also das ist gleich--also, gerade diesen Teil hier tun.
Das ist gegenüber dividiert durch Sinus Cosinus Sinus gleich.
Und Sie wissen, man könnte sagen, dass das die gleiche Sache ist
als der Absolute Wert.
Und der Absolute Wert dividiert durch den absoluten Wert.
Was sind Sie also mit Links?
Nun, sind Sie nur mit 1 über--Links, die, denen dies mit hebt
Dies, das eine 1--1 über den absoluten Wert wird
von den Kosinus von X.
So dass Sie vielleicht das Gefühl, dass wir immer enger.
Da dies viel aussieht, ist es gerade umgekehrt.
Also um dies zu erreichen, lassen Sie uns umkehren es.
Und um es zu invertieren, was passiert?
Nun, zunächst einmal, was passiert, wenn Sie 1 umkehren?
Nun, 1/1 ist nur 1.
Aber wenn Sie beide Seiten der Ungleichheit umkehren, Sie wechseln
die Ungleichheit, richtig?
Denken Sie darüber, und wenn, die Ihnen keinen Sinn macht.
Sie wissen, wenn ich sage 1/2 ist weniger als 2, und ich beide Seiten invertieren
der, dass ich 2 bekommen ist größer als 1/2.
So gibt, die Sie hoffentlich ein wenig Intuition.
Also, wenn ich aller Seiten dieser Ungleichheit, invertieren bin ich
haben die Ungleichheit Zeichen wechseln.
Also mehr als 1 größer als absoluten Wert der Sinus von X, ist die
absoluten Wert von X, die größer ist als absolute
Wert des Kosinus von X.
Nun lassen Sie mich Ihnen eine Frage stellen.
Der Absolute Wert der Sinus von x über--gut, zuerst
von allen, Sinus von x über X.
Wird es jemals eine Zeit Sinus von x über X--in, geben die
ersten oder vierten Quadranten--gibt es jemals eine Zeit, die
ist Sinus von x über x ein negativer Ausdruck?
Nun, im ersten Quadranten, Sinus von x ist positiv,
und x ist positiv.
So ist eine Positive, geteilt durch eine positive
wird positiv sein.
Und im vierten Quadranten Sinus von x negativ, y ist
negativ und der Winkel ist negativ, so x
auch negative.
Also im vierten Quadranten Sinus von x über x sein wird ein
Negative geteilt durch eine Negative.
Es wird also wieder ein Positivum.
Sinus von x über x wird also immer eine Positive sein.
So sind die absoluten Wert Zeichen Art von redundanten.
Wir schreiben könnte also 1 größer als Sinus von x über X.
Und die gleiche Logik, in der ersten und vierten Quadranten--
und das ist, wo wir es zu tun mit.
Wir sind den Umgang mit abzüglich Pi über 2 ist kleiner als X, die
ist kleiner als Pi mehr als 2.
Also gehen wir vom abzüglich Pi über 2 alle
der Weg zu mehr als 2 pi.
So sind wir im vierten und ersten Quadranten.
Ist Kosinus von x immer negativ?
Nun, ist der Kosinus der X-Wert und die X-per Definition in
die ersten und vierten Quadranten--der X-Wert
ist immer positiv.
Also ist dies immer positiv, wir loswerden können die
Absolutwert Zeichen schreiben dort, und nur.
Und jetzt können wir das Squeeze-Theorem zu verwenden.
Lassen Sie mich das alles hier unten jetzt löschen.
Lassen Sie mich Ihnen eine Frage stellen.
Was ist das Limit, als X 0, nähert sich der
die Funktion 1?
Nun, ist die Funktion 1 immer gleich 1.
Also kann ich das Limit als x Ansätze unendlich, das Limit setzen
als x nähert sich Pi, alles andere.
Dies wird immer gleich 1 sein.
Wenn X 0 nähert, ist also gleich 1.
Und dann was ist das Limit, wie x nähert sich 0, der Kosinus von X?
Nun, das ist einfach, zu.
Wenn X 0 nähert, Cosinus 0 ist nur 1-- und wie Sie zu erhalten,
Sie wissen, dass es eine kontinuierliche Funktion--ist so das Limit 1.
So sind wir bereit, das Squeeze-Theorem zu verwenden.
Wie nähern wir uns als x Ansätze 0, 0, dies
Funktion Ansätze 1.
Diese Funktion nähert sich 1.
Und diese Funktion, dieser Ausdruck ist in
zwischen den beiden.
Und wenn es zwischen den beiden, wie nähern wir uns--dies ist
1 nähern, nähern wir 0, nähert das 1 als wir sich
Ansatz 0, und diese ist dazwischen, so hat es auch zu
1 nähern wir 0 zu nähern.
Und also sind wir mit das Squeeze-Theorem basierend auf dies und das.
Und könnten Sie sagen, Sie wissen, also durch die Squeeze
Theorem, da dies zutrifft, das ist wahr und das ist wahr,
Sinus von x über X, beträgt das Limit als x Ansätze 0, 1.
So hoffentlich gab, dass Sie die Intuition.
Einem anderen so um, wie diese Zeile immer kleiner wird und
kleinere nähert sich 0, wenn X 0 (null), nähert, dass dies
und dieser Bereich zusammenlaufen, so der Bereich dazwischen Art von hat
die beiden konvergieren.
Und wenn Sie wollen, es grafisch zu sehen ich habe
grafisch dargestellt es hier.
Lassen Sie mich sehen, ob ich dieses Ding grafisch darstellen können.
Ich zeige Ihnen die Grafik.
Nur so können Sie mir glauben.
Also haben wir gesagt, dass 1 immer größer als Sinus von x, die
ist immer größer als Kosinus von X, zwischen negativ pi
über 2 und mehr als 2 Pi.
Und natürlich, dies ist nicht definiert bei x ist gleich 0.
Aber wir können herausfinden, das Limit.
Also haben wir es.
Diese blaue Linie hier, die die Funktion 1 ist.
Das y ist gleich 1.
Diese leichten blauen Strich ist hier Kosinus von X.
Und dies ist der Graph der Sinus von x über X.
Und Sie können sehen, dass ich es in tatsächlich eingegeben.
Also Sinus von x über X, zwischen negativ Pi über 2 und Pi über
2, oder die vierte und die ersten Quadranten, die rote Linie
ist immer dazwischen.
Es ist immer zwischen der dunkelblau und die leichte blaue Linie.
Und so ist dies nur eine Intuition, was passiert
mit dem Squeeze-Theorem.
Wir wissen, dass das Limit, als dieses Licht blaue Linie
Ansätze 0, ist 1.
Und wir wissen das Limit als diese obere dunkelblaue Linie
Ansätze 0 ist 1.
Und dieser roten Linie ist immer dazwischen, also es
auch nähert sich 1.
Also haben Sie es.
Der Nachweis, mit dem Squeeze-Theorem und ein wenig
visuelle Trigonometrie, warum das Limit, wie x nähert sich 0, der
Sinus von x über x ist gleich 1.
Ich hoffe, dass ich Sie noch nicht verwirrt.