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ROGER BOWLEY: Die Zahl, über die ich jetzt sprechen möchte, ist die
Wurzel aus 2.
JAMES GRIME: Was ich an Wurzel aus 2 am interessatesten finde ?
Wenn Du ein Stück Papier der A - Größenreihe hernimmst...
Also das ist A4-Papier.
Ziemlich gut standardisiert fast in der ganzen Welt.
Wenn Du so ein Stück Papier hernimmst und Dir ansiehst
was das Verhältnis zwischen der langen und der kurzen Seite ist,
also, wenn Du die lange Seite misst und durch die kurze teilst
kommt Wurzel aus 2 heraus.
Und das ist Absicht.
ROGER BOWLEY: Wurzel aus 2 ist so ungefähr 1.41
also ungefähr.
Und as ist die Zahl, die Du kriegst, wenn Du den Satz des Pythagoras nimmst
der sagt, dass wenn du eine Einheitslänge hier lang hast,
und eine Einheitslänge da lang.
Also das Quadrat von dieser Länge plus das Quadrat von dieser Länge
daraus wird
diese Länge ist Wurzel 2, die Quadratwurzel aus 2.
JAMES GRIME: Wenn ich dieses Stück Papier in der Mitte falte...
also wir versuchen das mal.
Das ist jetzt etwas, was A5-Papier heißt.
Wir haben mit A4 angefangen
und haben jetzt A5.
Und wenn Du das jetzt hernimmst und die lange Seite
durch die kurze teilst, bekommst Du wieder
die Wurzel aus 2.
Das Verhältnis ist dasselbe.
Man hat das so bestimmt, damit man hoch und runter skalieren kann,
und die Proportionen bleiben gleich.
ROGER BOWLEY: Wurzel aus 2, also 1.41.
Und das geht immer weiter.
Es hört an keiner Stelle auf.
Und von diesen Zahlen gibt es noch viel mehr.
Das ist nur die erste von vielen.
Eine andere ist Pi.
JAMES GRIME: Also, man startet mit A0.
A0 ist ein Stück Papier, das ein Seitenverhältnis von
Wurzel 2 hat und eine Fläche von einem Quadratmeter.
Wurzel 2 ist die einzige Zahl, mit der das funktioniert.
Und ich zeige das jetzt,
dass das das einzige Verhältnis ist, mit dem das geht.
Also los.
Das ist unser rechteckiges Stück Papier.
Das ist die lange Seite, die nenne ich a, und das
st die kurze Seite, die ich b nenne.
Wenn ich jetzt die lange Seite a dividiere durch
die kurze Seite b, bekomme ich eine Zahl für das Verhältnis.
Das ist dann Wurzel 2, aber nehmen wir mal an,
wir wissen das noch nicht.
Aber das ist, was ich rauskriegen will.
Wenn ich in der Mitte teile, ist das jetzt die lange Seite.
Also b ist jetzt die lange Seite.
Die kurze Seite ist jetzt die Hälfte von a,
a Halbe.
So, und die sollen jezt dasselbe Seitenverhältnis zueinander haben, wie vorher.
In anderen Worten, diese beiden Terme sollen gleich sein.
Jetzt müssen wir das nur noch umstellen
und ein wenig damit spielen.
Was bekommen wir ?
OK.
Wir nehmen die b's auf die Seite und die a's auf die Seite hier.
Wenn man damit noch ein bisschen spielt, kriegt man a Quadrat auf der linken
und 2 b Quadrat auf der rechten Seite.
Mit anderen Worten, a Quadrat geteilt durch b Quadrat ist gleich 2.
Oder, wir ziehen die Wurzel, die Wurzel aus beiden Seiten.
Und wir bekommen a geteilt durch b auf der linken,
Und auf der rechten Seite kriegen wir die Wurzel aus 2.
Und das ist das Seitenverhältnis, das wir gesucht haben.
Das einzige Seitenverhältnis, mit dem das geht ist Wurzel aus 2 .
JAMES GRIME: Das ist der Satz des Pythagoras.
Die Pythagoräer waren eine Glaubensrichtung ganz ganz früher.
Und vielleicht gab es sogar einen Typen, der Pythagoras hieß
und damit zu tun hatte.
Aber das waren ziemlich eigenartige Leute,
Und sie haben an diesen Satz geglaubt.
Sie glaubten an die Harmonie der natürlichen Zahlen.
Also, wenn Du Musik machen wolltest, hast du eine Saite hergenommen
mit einer bestimmten Spannung.
Wenn Du die halbe Länge nimmst, bekommst Du
eine Note, die harmoniert.
Sie haben gedacht, dass die ganze Natur aus Zahlen besteht.
Sie dachten, dass man alles ausdrücken kann als
natürliche Zahl, oder als Verhältnis natürlicher Zahlen.
Das war ihr fundamentaler, tiefer Glaube.
JAMES GRIME: Was wussten sie denn ?
Sie hatten die Zahlen, eins zwei, drei, vier, fünf.
Sie hatten die Brüche ausgearbeitet, uns konnten zwei Dinge zusammendividieren,
also soetwas wie 3/5 oder 1/2.
ROGER BOWLEY: Sie hatten noch andere Sachen geglaubt.
Daß man keine Frau heiraten sollte, die Goldschmuck trägt,
zum Beispiel.
Oder dass man vegetarisch leben sollte.
Und dass man keine Saubohnen essen sollte.
Und man soll nicht in Richtung Sonne urinieren.
Es gab einen Anhänger dieser komischen Sekten, der hieß Hippasus.
Und der hat herausgefunden, dass, wenn Du an den Satz des Pythagoras glaubst,
dass Du dann mathematisch beweisen kannst,
das diese Zahl
kein Verhältnis von natürlichen Zahle darstellt.
JAMES GRIME: Aber eine Zahl, die man nicht
als Bruch schreiben kann, das war etwas Neues, was nicht endet.
Das ist dann eine irrationale Zahl.
ROGER BOWLEY: Und das fanden sie so schlimm.
Ich kann garnicht sagen, wie schlimm sie das fanden.
Nach der Legende sind sie mit ihm aufs Meer gefahren und er
kam nicht zurück.
Irgendwie haben sie ihn entweder ertränkt
oder auf einer wüsten Insel ausgesetzt.
Er wurde nie wieder gesehen.
JAMES GRIME: Sie haben offenbar
sie haben dies Information unterdrückt.
Sie waren nicht sicher, dass das etwas ist, was existiert.
ROGER BOWLEY: Wir nennen diese Zahlen heute irrational,
weil sie nicht in das pythagoräische Weltbild passen.
JAMES GRIME: Dasselbe Problem habe die Leute
heute immer noch.
Leute sagen mir, oh, ich habe von den komplexen Zahlen
gehört.
Ich glaube nicht, dass sie existieren.
I verstehe das nicht.
Es ist dasselbe Problem.
Du musst Dich nur daran gewöhnen.
ROGER BOWLEY: Als war er einer der ersten Menschen,
der von Leuten verfolgt wurde, weil er bewiesen hat, dass ihre
bisherigen Ideen falsch sind.
Und das ist in der Geschichte immer wieder passiert.
Ich kann Dir die Geschichte der Physiker erzählen, die gelitten haben,
wie Giordano Bruno, der auf dem Scheiterhaufen
verbrannt ist, wiel er sage, dass das Univerum undendlich ist.
Und die katholische Kirche sagte, dann wäre ja gar kein
Platz mehr für Gott.
JAMES GRIME: Wir zeigen jetzt, dass die Wurzel aus 2
irrational ist.
Sie kann nicht als Bruch geschrieben werden.
Die Art und Weise, wie wir das beweisen, ist sehr mächtig und nützlich.
Ein mathematischer Widerspruchsbeweis.
Wir nehmen das Gegenteil an.
Wir nehmen an, wir können das als Bruch schreiben.
Also zum Beispiel a geteilt durch b .
Und a und b sind sehr speziell,
das sind natürliche Zahlen,
also ganze Zahlen
Wie eins, zwei, drei, vier, fünf.
Also soetwas.
Und sie stehen auf kleinstmögliche Weise hier.
Wir schließen soetwas wie 2 geteilt durch 4 aus,
denn das ist eigentlich ein halb
und nicht in mit den kleinstmöglichen Zahlen dargestellt.
Ok.
Was können wir jetzt damit anfangen?
ROGER BOWLES: Wenn Du eine Idee hast, die richtig ist,
aber das bisher Geglaubte in Frage stellt kannst Du
auf einer wüsten Insel ausgestzt, auf dem Scheiterhaufen verbrannt oder hingerichtet werden.
Weil es Menschen nicht mögen, wenn ihre Ideen,
wie die Welt sein sollte, erschüttert werden.
Selbst wenn du das Gegenteil beweisen kanst, ist es keine gute Idee,
gegen die Sonne zu urinieren.
JAMES GRIME: Wir quadrieren jetzt beide Seiten.
Links bekommen wir eine 2
Rechts kriegen wir a Quadrat
geteilt durch b Quadrat.
Nicht vergessen, a und b sollen ganze Zahlen sein.
Spielen wir damit.
Wie kriegen 2 b Quadrat links gleich a Quadrat rechts.
Was wie jezt gezeigt haben, ist, dass
a Quadrat eine gerade Zahl ist.
Weil es ein Vielfaches von 2 ist, ist es eine gerade Zahl.
Und weil a Quadrat eine gerade Zahl ist,
muss a auch eine gerade Zahl sein.
Wenn a das Quadrat einer ungeraden Zahl wäre,
wäre es selbst ungerade.
Also ja, wenn a Quadrat eine gerade Zahl ist, dann ist die ursprüngliche Zahl a
auch gerade.
Also a ist gerade.
OK.
Also a ist gerade.
Wir benenne das jetzt um, also sage wir,
a ist gleich 2 mal c.
Was haben wir jetzt?
2b Quadrat auf der linken Seite ist ist das Produkt aus 2 mal c zum Quadrat.
even, squared.
This is equal to 4c squared.
Mit anderen Worten, b Quadrat
ist gleich 2c Quadrat.
Ist das zu sehen ?
b Quadrat ist gerade.
Wie vorhin diskutiert, wenn b Quadrat gerade ist, ist auch b gerade.
Wir haben gezeigt, dass a gerade ist und dass b gerade ist.
Das ist ein Problem.
They can't both be even.
Wie in meinem Beispiel 2 geteilt durch 4, ist das nicht die Möglichkeit, den Bruch
durch die kleinstmöglichen Zahlen auszudrücken, weil a und b gerade sind.
Also kann das kein Bruch sein.
Es existiert nicht.
Man kann Wurzel 2 nicht so als Bruch schreiben.