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Wir wollen eine weitere Aufgabe zum Thema "Volumenarbeit idealer Gase"
besprechen - diesmal geht es um adiabatische Volumenarbeit.
Wir komprimieren bzw. expandieren ein Gas
adiabatisch, d.h. thermisch
isoliert.
Es besteht keine Möglichkeit für das Gas, Wärme mit der Umgebung auszutauschen. In der Regel
wird sich die Temperatur
des Gases bei einem adiabatischen Prozess ändern.
Ein kurzer Rückblick auf die isotherme Volumenarbeit:
Hier gilt das BOYLE-MARIOTTEsche Gesetz: pV=const.
p mal V ist kontant. Die umgesetzte Arbeit
ist W=-n*R*T*ln (V(E)/V(A))
und die Wärme Q ist gleich -W, da delta(U) gleich Null ist.
Demgegenüber gelten beim adiabatischen Prozess folgende Gleichungen: Hier ist p mal V hoch kappa konstant
p*V^k = const. (eine der drei
POISSONschen Adiabatengleichungen) Kappa ist der POISSONsche Adiabatenkoeffizient -
kappa hat für jedes Gas einen charakteristischen Wert.
Man kann aus dem Zahlenwert von kappa
auf die Molekülstruktur des Gases schließen.
Die Arbeit beim adiabatischen Prozess ist W=C(V)*delta(T)
und die Wärme definitionsgemäß gleich Null ist, ergibt sich delta(U) gleich W.
Im pV-Diagramm ist eine Adiabate immer eine steilere Kurve als eine
Isotherme.
Ein Kilogramm Wasserdampf soll
von 450 Grad Celsius
adiabatisch
von 10 bar auf 1 bar
entspannt werden.
Ein Prozess, der auch
in einer Dampfmaschine
zur Gewinnung von Arbeit genutzt wird: Expansion von 10 bar und 450°C auf 1 bar.
Der Prozess ist adiabatisch, es erfolgt keinerlei Wärmeaustausch, daher wird
die Temperatur
deutlich
absinken, denn das Gas leistet Arbeit, wenn der
Druck von 10 bar auf 1 bar sinkt
und das Volumen zunimmt.
Der Adiabatenkoeffizient von Wasser soll mit konstant 1,3 angenommen werden.
Der Prozess soll ideal reversibel verlaufen;
es sind die Prozessgröße W(rev)
und eine Reihe von Zustandsgrößen
- delta(S), delta (V), delta(T), delta(p)) -
zu ermitteln.
Wir skizzieren für alle relevanten Größen
eine Tabelle.
(1) ist der komprimierte Anfangszustand; (2) ist der expandierte Endzustand
(I) ist der Prozess - die adiabatische Expansion
Gegeben...
Gegeben sind folgende Größen:
Anfangstemperatur: 723 Kelvin
Anfangsdruck: 10 bar
Anfangsvolumen : ?
(kennen wir noch nicht)
Enddruck: 1 bar.
Weitere Angaben:
der Prozess ist reversibel adiabatisch;
das Medium ist ein ideales Gas;
und der POISSONsche Adiabatenkoeffizient kappa =1,3 ist auch gegeben.
Adiabatisch bedeutet: Wärme ist gleich Null
(damit können wir auch schon eine Prozessgröße in die Tabelle ergänzen)
Wir
berechnen zunächst die Stoffmenge n.
1 Kilogramm Wasser entsprechen bei einer Molmasse von
18 g/mol einer Stoffmenge von
55,6 mol.
55,6 mol bei 10 bar und 20°C besitzen nach dem
idealen Gasgesetz
ein Volumen von 334 L
Liter.
Damit ist der Ausgangszustand
vollständig
beschrieben.
Wir benutzen jetzt eine der drei
POISSONschen Adiabatengleichungen, die Anfangs- und Endzustände
auf einer Adiabate verknüpfen: p(A)V(A)^kappa.=p(E)V(E)^kappa
p(A) und V(A) sind gegeben
p(E) ist ebenfalls gegeben, also können wir nach V(E)^kappa
auflösen
Wir erhalten V(E)^kappa =p(A)/p(E)*V(A)^kappa
V(E)^kappa =p(A)/p(E)*V(A)^kappa
Wir ziehen die kappa-te Wurzel und erhalten
V(E) =kappa-te Wurzel aus (p(A)/p(E)) *V(A)
1,3-te Wurzel aus
(1000000
durch 100000) oder
1,3-te Wurzel aus 10
mal 0,334 m³ ergibt ein Endvolumen,
das 5,8 mal größer ist als das Ausgangsvolumen.
Beachten Sie den Unterschied zur isothermen Expansion:
Hier würde eine Reduktion des Druckes um den Faktor 10
eine Vergrößerung des Volumens um den Faktor 10 bedeuten.
p(A)V(A)=p(E)V(E)
Bei der adiabatischen Expansion bedeutet eine Reduktion des Drucks um den Faktor 10 nur eine Volumenvergrößerung um den Faktor 5,8,
weil die Temperatur gleichzeitig abgenommen hat.
Das Endvolumen V(E) beträgt knapp
2000 Liter.
Die Endtemperatur T(E) kann einfach nach der
idealen Gasgleichung
ausgerechnet werden,
wobei wir jetzt den Endzustand berechnen.
Einsetzen p(E) und V(E) sowie
der Stoffmenge n
liefert eine Endtemperatur von 425 Kelvin.
Als nächstes berechnen wir die Volumenarbeit,
welche der Wasserdampf leistet:
W=C(V)*delta(T) Die Temperaturänderung delta(T) kennen wir;
die Molwärme C(V) ist nicht direkt gegeben, aber wir können sie aus kappa berechnen.
Für ein ideales Gas ist
C(p) minus C(V) gleich n mal R.
Der Quotient C(p) durch C(V) ist definiert als kappa.
Wir haben zwei
Gleichungen
und wir haben
zwei Unbekannte (nämlich C(p) und C(V)), Wir lösen das Gleichungssystem nach C(V) auf
und erhalten C(V)=n*R/(kappa - 1)
Damit berechnen wir die isochore Wärmekapazität zu
C(V)=1,54 kJ/K
und
die Expansionsarbeit W durch Multiplikation von C(V) mit delta(T)=-298 K
delta(T)=-298 K
Wir erhalten für W eine negative Zahl, nämlich -459 kJ -
diese Arbeit wird vom System abgegeben.
Die Änderung der Inneren Energie delta(U) ist leicht zu berechnen,
denn nach dem Ersten Hauptsatz ist delta(U)=Q+W und Q=0, also ist auch
delta(U)=459 kJ.
Der Wasserdampf
besitzt nach dem Prozess eine um 459 kJ
geringere Innere Energie
als vor dem Prozess.
Diese Energiedifferenz delta(U) wurde komplett in Arbeit umgewandelt.
Im pV-Diagramm liegt der Ausgangszustand (1) bei 10 bar und 334 Liter; der
Endzustand
liegt bei 1 bar.
Diese rote Linie
wäre eine Isotherme
bei der Außentemperatur (723 K) - eine Hyperbel -
Da eine Adiabate immer steiler als
eine Isotherme ist, liegt der Endzustand (2)
unterhalb der roten Kurve. Die blaue Linie entspricht
einer Isotherme bei der Endtemperatur (425 K) - eine weitere Hyperbel.
Die schwarze Linie repräsentiert
die Adiabate zwischen (1) und (2).
Die Arbeit, welches das Gas leistet, entspricht der Fläche unter der Kurve im pV-Diagramm