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X
In diesem Video möchte ich ein paar Aufgaben lösen,
die täuschend knifflig sind.
Ihr könnt sagen, hey, sind nicht alle Ungleichungen
täuschend knifflig?
Und auf einem bestimmten Niveau habt ihr wahrscheinlich Recht.
Also wir haben x minus 1 durch x plus 2 ist größer als 0.
Ich möchte euch zwei Wege, zeigen.
Der erste Weg ist, glaube ich, auf einem bestimmten Niveau, ist der einfachere Weg.
Aber ich zeige euch, wie die beiden Methoden arbeiten,
Also der erste Weg. Ich dividiere irgendein
Zahl durch eine andere Zahl und ich sage, dass das größer als 0 sein wird.
Wir sollen uns nur an die Eigenschaften der Multiplikation
und Division mit negativen Zahlen erinnern.
In welcher Situation wird dieser Bruch größer als 0 sein?
Nun, das wird größer als 0 sein, nur wenn beide
(also können wir schreiben) a größer als 0 und b größer als 0 sind.
Also das ist eine Bedingung, die Ungleichung wahr macht.
Wir haben eine positive Zahl durch eine andere positive Zahl dividiert.
Das Ergebnis wird definitiv größer als 0 sein.
Oder wir können die Situation haben, wo wir eine negative Zahl
durch eine andere negative Zahl dividieren.
Wenn wir das gleiche Vorzeichen durch das gleiche Vorzeichen dividieren,
wird das Ergebnis positiv sein.
Oder a ist kleiner als 0 und b ist kleiner als 0.
Also, wenn ihr ein rationaler Ausdruck wie
diese habt, der größer als 0 ist, gibt es zwei Situationen, in denen es wahr wird.
Der Zähler und der Nenner sind
entweder beide größer als 0, oder beide kleiner als 0.
Lasst uns das merken, und die Aufgabe lösen.
Es gibt zwei Möglichkeiten diese Aufgabe zu lösen.
Die erste ist, wenn die beide größer als 0 sind.
Wenn diese beide größer als 0 sind, sind wir cool.
Wir können sagen, dass die erste Lösung - vielleicht werde ich ein Bäumchen zeichnen
x minus 1 größer als 0 und x plus 2 größer als 0 ist.
Das ist äquivalent für dies.
Wenn der obere und der untere Teil, beide größer als 0 sind,
erhalten wir nach dem Dividieren etwas größeres als 0.
Die andere Möglichkeit - wir haben das gerade gesehen - wenn sie beide
kleiner als 0 waren.
Also die andere Möglichkeit ist : x minus 1 kleiner als 0 und
x plus 2 kleiner als 0 ist.
Wenn diese beiden kleiner als 0 sind, dann habt ihr eine negative Zahl
durch andere negative dividiert, und das Ergebnis wird positiv sein.
Das wird größer als 0 sein.
Lasst uns diese beide Fälle lösen.
Also x minus 1 ist größer als 0.
Wir erhalten x größer als 1, wenn wir 1 auf beiden Seiten addieren.
Wenn wir sagen, dass x plus 2 größer als 0 ist, und wenn wir 2 von beiden Seiten
dieser Ungleichung subtrahieren - ich habe das wie hier gemacht - erhalten wir x größer als minus 2.
Damit diese beiden wahr werden - in diese hell braune oder rote Farbe, wie ihr wollt -
damit diese beiden wahr werden, soll x größer als 1 und größer als minus 2 sein.
Durch diese Aussage haben wir rausgefunden, dass x größer als 1 sein soll;
und diese Aussage sagt uns, dass x größer als minus 2 sein soll.
Nun, wenn x größer als 1 und x größer als minus 2 sein soll, dann ist x eindeutig größer als 1.
Ihr wisst, dass Null würde nicht genügen, weil Null größer als minus 2 ist,
Aber das ist nicht größer als 1.
Damit etwas größer als 1 und minus 2 ist, soll diese etwas größer als 1 sein
Diese ganze Kette von Gedanken, wenn ich sage, dass der Zähler
und der Nenner größer als 0 sind. Das passiert nur, wenn x größer als 1 ist.
Denn wenn x größer als 1 ist, dann wird x definitiv größer als minus 2 sein.
Hier ist eine Situation, in der diese Gleichung gilt, und wir können die sogar ausprobieren.
Nehmen wir an, dass x 2 ist.
Die Lösung ist 1 / 4.
Es ist eine positive Zahl.
Jetzt sehen wir die Situation an, wenn diese beiden negativ sind.
Wenn x minus 1 kleiner als 0 ist, wenn wir 1 zu beiden Seiten
die Ungleichung hinzufügen, das sagt uns, dass x minus 1 kleiner als 0 ist.
Das ist das Gleiche - wenn wir 1 auf beiden Seiten addieren - wie x kleiner als 1.
Also wird diese Bedingung auf diese reduziert.
Jetzt ist diese Bedingung: x plus 2 kleiner als 0.
Wenn wir 2 von den beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir x kleiner als minus 2.
Also wird diese Bedingung auf diese reduziert.
Also, wenn diese beiden Jungs, negativ sind,
der Zähler und der Nenner negativ sind, dann wissen wir, dass
x soll kleiner als 1 und x soll kleiner als minus 2 sein.
Nun, wenn etwas kleiner als 1 sein soll, und kleiner
als minus 2, dann soll es kleiner als minus 2 sein.
Alles, was kleiner als minus 2 ist, genügt diesen beiden Ungleichungen.
Also es reduziert sich auf x kleiner als minus 2.
Und denkt ihr daran, dass es ein "oder" ist.
Entweder sind beide der Zähler und der Nenner positiv, oder sie sind beide negativ.
Wenn beide positiv sind, reduziert sich das auf x größer als 1.
Oder wenn beide negativ sind, dann ist x kleiner als minus 2.
Also unserer Lösung ist x größer als 1, wenn beide positiv sind.
Oder x ist kleiner als minus 2.
Dann sind beide negativ.
Und wenn wir wollen es auf dem Zahlenstrahl zeichnen – lasst mich einen Zahlenstrahl
so wie dieser zeichnen.
Hier ist 0 und hier haben wir 1,
und hier ist x größer als 1.
Nicht größer oder gleich.
Wir setzen hier einen Kreis um zu zeigen, dass 1 nicht eingeschloßen ist.
Und alles, was größer als 1 ist, wird diese Ungleichung genügen.
Oder alles, was kleiner als minus 2 ist.
Hier ist minus 2, und alles, was kleiner als minus 2 ist,
wird diese Ungleichung mit den negativen Zähler und Nenner genügen.
Ihr könnt es ausprobieren.
Minus 3. Minus 3 minus 1.
Ich schreibe einfach: minus 3 minus 1 ist gleich minus 4.
Und dann minus 3 plus 2. Minus 3 plus 2 ist gleich minus 1.
Minus 4 dividiert durch minus 1 ist positiv 4.
Also es funktioniert.
Nun, ich sagte, dass ich euch zwei Wege zeigen würde, um diese Aufgabe zu lösen.
Lasst mich einen anderen Weg zeigen, wenn ihr denkt, dass dieser vielleicht ein bisschen verwirrend wirkte.
Also lasst mich die Aufgabe umschreiben.
Wir haben: x minus 1 durch x plus 2 ist größer als 0.
Und tatsächlich, wenn wir das umstellen, können wir die gleiche Logik anwenden.
Sagen wir, dass es größer oder gleich ist - na ja, eigentlich nicht.
Ich speichere diese Werte - vielleicht im nächsten Video werde ich diesen Fall behandeln.
Ich will den nächsten Schwierigkeitsgrad schrittwese erreichen.
Wir sagen, dass x minus 1 durch x plus 2 größer als 0 ist.
Eins könnte man sicher sagen, dass ich beide Seiten dieser Aussage mit x plus 2 multiplizieren kann.
So kann ich x plus 2 im Nenner loswerden, es mit 0 multiplizieren oder überhaupt wegmachen.
Aber das Problem ist, wenn ihr beide Seiten eine Ungleichung mit einer positiven Zahl multipliziert,
dann bleibt die Ungleichung auch positiv.
Aber wenn ihr mit einer negativen Zahl multipliziert, dann dreht sich das Zeichen um.
Wir wissen nicht, ob x plus 2 positiv oder negativ ist.
Lasst uns beide Situationen ansehen.
Die erste Situation, wenn x plus 2 - ich schreibe das auf -
x plus 2 größer als 0 ist.
Und dann eine andere Situation - ich schreibe es mit einer anderen Farbe -
wenn x plus 2 kleiner als 0 ist.
Es gibt zwei Varianten für x plus 2.
und die Frage in beiden Fällen: kann x plus 2 gleich 0 sein?
Wenn x plus 2 gleich 0 wäre, dann wäre die ganze Aussage undefiniert.
Und damit definitiv nicht die Aussage, mit der wir umzugehen können.
Es wäre eine undefinierte Aussage.
Das ist eine Situation, wenn wir beide Seiten multiplizieren.
Also, wenn x plus 2 größer als 0 ist, das bedeutet, dass x größer als minus 2 ist.
Wir können 2 von beiden Seiten dieser Ungleichung addieren.
Also, wenn x größer als minus 2 ist, dann ist x plus 2 größer als 0.
Wir multiplizieren beide Seiten mit x plus 2.
Wir erhalten: x minus 1 durch x plus 2 ist größer als 0.
Ich werde beide Seiten mit x plus 2 multiplizieren, ich nehme an,
dass Aussage positiv ist, weil x größer als minus 2 ist.
Wir multiplizieren beide Seiten mit x plus 2.
Diese werden weggekürzt.
0 mal x plus 2 ist gleich 0.
Links haben wir x minus 1 ist größer als - das wird bis auf 0 simplifiziert.
Addiert 1 auf beiden Seiten, und ihr erhält x größer als 1.
Wir sehen, dass, wenn x plus 2 größer als 0 ist, oder wir können
sagen, wenn x größer als minus 2 ist, dann ist x auch größer als 1.
Oder man könnte sagen, wenn x - gut, ihr könnt hier beide Verfahren anwenden.
Aber wir sagen, schau, die beide diese Dinge müssen wahr sein.
Um beide Ungleichungen zu genügen, soll x größer als 1 sein.
Wenn x größer als 1 ist, kann es definitiv diese Bedingung genügen.
Hier sind wir zur Lösung gekommen: x ist größer als 1.
Also das ist eine Variante, wenn x plus 2 größer als 0 ist.
Die andere Variante ist x plus 2 kleiner als 0.
Wenn x plus 2 kleiner als 0 ist... Das ist äquivalent mit der Aussage, dass x kleiner als minus 2 ist.
Ihr subtrahiert einfach 2 von beiden Seiten.
Wenn x plus 2 kleiner als 0 ist, was sollen wir machen, wenn wir beide Seiten multiplizieren?
Wir haben x minus 1 durch x plus 2. Wir haben eine Ungleichung und wir haben 0.
Wenn wir beide Seiten mit x plus 2 multiplizieren, sagen wir, dass x plus 2 eine negative Zahl ist.
Wenn ihr beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, ändert sich das Zeichen.
Also das Zeichen größer wird zum Zeichen kleiner, weil wir wissen, dass x plus 2 negativ ist.
Das wird weggekürzt. 0 mal alles ist 0.
Wir erhalten: x minus 1 ist kleiner als 0.
Um x zu finden, addiert 1 auf beiden Seiten. x ist kleiner als 1.
Also in dem Fall, dass x plus 2 kleiner als 0 oder x kleiner als minus 2 ist, muss x kleiner als 1 sein.
Wir wissen, dass, wenn etwas kleiner als minus 2 und kleiner als 1 ist,
dann kann man das bis auf x kleiner als minus 2 simplifizieren.
Alles, was kleiner als minus 2 ist, wird der genügen.
Aber nicht alles, was dieser Ungleichung genügen wird, wird auch der genügen.
Das ist also die einzige Einschränkung, die uns Sorge bereitet.
Wenn x plus 2 kleiner als 0 ist, können wir einfach sagen, dass x kleiner als minus 2 ist.
Das wird dieser Ungleichung genügen.
Also das Resultat ist, dass x entweder größer als 1 oder kleiner als minus 2 ist.
Also noch einmal. Ich kann das auf dem Zahlenstrahl zeigen.
x ist größer als 1.So wie hier.
Wir haben 0, minus 1, minus 2.
Und weil x kleiner als minus 2 ist, wird minus 2 nicht eingeschlossen.
So wie hier.
Und das ist genau das gleiche Resultat, wie hier oben.
Ihr könnt die einfachste Version wählen.
Aber ihr könnt sehen, dass die beide ein wenig nuanciert sind.
Und ihr sollt merken, was beim Multiplizieren oder
oder Dividieren durch positive oder negative Zahlen passiert.